UMA EXPERIÊNCIA EM ÓPTICA PARA A DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DOS PONTOS CONJUGADOS DE UM SISTEMA DE LENTES ACOPLADAS

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## UMA EXPERIÊNCIA EM ÓPTICA PARA A DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DOS PONTOS CONJUGADOS DE UM SISTEMA DE LENTES ACOPLADAS

Daniele Freitas Barbosa [dani.ufrj@globo.com] a

Valdeci Telmo [vtelmo@ig.com.br] a Vitorvani Soares [vsoares@uol.com.br] a

a Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro

## RESUMO

- O objetivo deste trabalho é mostrar que podemos determinar a equação dos pontos conjugados para um sistema de lentes acopladas, a partir somente de um experimento em ótica e sem nenhum conhecimento prévio desta equação.

A equação dos pontos conjugados envolve três das principais quantidades da ótica geométrica em apenas uma única relação, sendo fundamental para a descrição de diversos instrumentos óticos: dado um objeto localizado a uma distância O de um instrumento ótico e cuja imagem é formada a uma distância I desse instrumento, podemos determinar a distância focal f do instrumento por meio da equação dos pontos conjugados ou das lentes delgadas. Em geral, esta equação, é fornecida aos estudantes previamente à realização da experiência, e os alunos devem encontrar as posições O e I que satisfazem a relação acima.

Apresentamos, neste trabalho, uma abordagem diferente, que está subdividida em quatro etapas: (i) Observar com os alunos a formação de imagens n ítidas de diferentes tamanhos, segundo a posição do objeto em relação à lente e da imagem do objeto em relação a lente; (ii) Em seguida, descobrir, junto com os alunos, à partir de um gráfico, que há uma relação funcional entre o tamanho da imagem, Ti , e a posição I em relação à lente desta mesma imagem; (iii) A partir destes dados, determinar a equação dos pontos conjugados a partir dessa relação funcional; (iv) E, ainda, mostrar que a combinação de duas lentes de mesma focal acopladas obedece a mesma relação funcional que o sistema de uma única lente, mas com o valor da focal é, neste caso, reduzido a metade.

## INTRODUÇÃO

Um experimento de laboratório muito usado com turmas do ensino médio é sugerir aos estudantes a formação de imagens reais empregando lentes delgadas. Uma figura simples em um suporte transparente e diante de uma fonte luminosa é freqüentemente usada como o objeto, e o sistema de lentes acopladas focaliza a imagem deste objeto em um anteparo. A posição do anteparo é ajustada até que uma imagem nítida se forme sobre ele. Os estudantes medem a distância do objeto O e a distância da imagem I , correspondendo a posição relativa do objeto e da imagem às lentes. A partir dessas medidas, a equação das lentes delgadas,

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pode ser empregada para d eterminar a distância focal f da lente [1]. Uma prática bem difundida nas aulas é permitir que os estudantes façam um grande número de medidas de O e de I , para diferentes ocalizações da imagem Para cada um desses pares de medida objeto-imagem, a distância focal é determinada usando-se a equação acima. As distâncias focais para cada uma das combinações de O

- e I devem ser as mesmas. Comparando-se os valores calculados de f, os estudantes testam a validade da equação [2].

Muito embora este método seja um exercício útil, a origem da equação dos pontos conjugados fica indeterminada, parecendo aos estudantes que ela foi concebida por um 'passe de mágica'. Seguindo a orientação dos Programas Curriculares Nacional - PCNs, [3] no que se refere ao desenvolvimento de conhecimentos, competências e habilidades do estudante por meio de instrumentos reais de percepção, satisfação, interpretação, julgamento, atuação, desenvolvimento pessoal ou de aprendizado permanente, realizamos um procedimento experimental diferente. Este procedimento se inicia a partir da observação, pelo estudante, da formação de imagens de diferentes tamanhos em função da disposição relativa ao sistema de lentes tanto do objeto quanto do anteparo onde se forma a imagem. Uma posterior análise funcional desta relação permite a determinação da equação dos pontos conjugados e o seu limite de validade.

## MÉTODO EXPERIMENTAL

Figura 1. Esquema experimental do banco óptico empregado na experiência.

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A experiência consiste na formação de uma imagem nítida de um dado objeto, para diferentes distânciasde entre objeto e plano imagem, usando-se difrentes combinações de três lentes de distâncias focais diferentes. Além de serem usadas individualmente, serão utilizados sistemas de duas lentes de mesma distância focal. Conforme a posição do plano imagem onde a imagem é formada, a posição da lente era modificada até a obtenção de uma nova imagem. Através desse procedimento obtemos os dados experimentais para a construção de gráficos relacionando o tamanho da imagem com a posição do plano imagem. A relação funcional obtida, entre os tamanhos da imagem e as distâncias da imagem à lente, é linear. Com a análise dos coeficientes angular e linear dos gráficos fomos capazes de deduzir a equação dos pontos conjugados.

## ANALISE DOS RESULTADOS

Analisando os gráficos, percebemos que apesar de terem sido construídos com lentes de distâncias focais diferentes, eles apresentam alguns pontos em comum: (i) A Fgi. 1 mostra que o tamanho da imagem Ti é igual a zero, quando a reta intercepta o eixo das ordenadas em um ponto particular. Esta é, de fato, a definição do ponto focal f : aquela posição para a qual, o tamanho da imagem será zero; (ii) As três curvas apresentadas na Fig. 1 também mostram que a relação funcional para cada uma das três lentes apresenta o mesmo coeficiente linear. Neste caso, o gráfico sugere que, quando o plano imagem estiver sobre a lente, haverá formação de imagem e que ela é não invertida e igual ao tamanho do objeto; (iii) Analisando os gráficos das combinações de duas

lentes de mesma distância focal, representados na Fig. 3, verificamos que os pontos coincidem com o gráfico obtido para uma lente, e que essa lente tinha a metade da distância focal da lente utilizada na combinação. Observamos ainda que, superpondo esses dois gráficos, os pontos obtidos pela combinação de duas lentes coincidem com a região do gráfico de uma só lente onde não se conseguia obter nenhuma leitura.

Figura 4. Resultados do experimento utilizando duas lentes de mesma distância focal f = 100 e 200 mm combinadas, sobrepostos aos resultados apresentados na Fig.1.

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i

Figura 2. Resultados do experimento usando-se três lentes de distâncias focais f = 50, 100 e 200 mm , e diametros iguais a 5 cm

Do exposto acima concluímos que a medida do coeficiente linear dos três gráficos é exatamente o tamanho do objeto, que é o parâmetro comum a todas as experiências. Usando um pouco de análise funcional, obtemos

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onde o sinal negativo indica que a imagem é invertida.

8.0

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i

Observe-se que este último resultado s ó é válido para distâncias I muito maiores que as dimensões da lente (aproximação delgada). Neste caso, usando um pouco de geometria elementar, representada

na Fig. 4, podemos determinar a amplificação do tamanho da imagem em relação ao tamanho do objeto:

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Figura 4. Representação esquemática dos resultados

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A partir da combinação das duas últimas equações determina-se a equação dos pontos conjugados tradicional. Considerando os rresultados apresentados na Fig. 3, podemos concluir ainda que a combinação de duas lentes de mesma distância focal é igual a uma única lente com a metade da distância focal das lentes utilizadas.

## CONCLUSÕES

Apresentamos neste trabalho, um método para a determinação da equação dos pontos conjugados a partir da experiência envolvendo um sistema de lentes. Este trabalho se insere em um projeto maior, que se refere à construção dos conhecimentos de ótica geométrica, através da prática em sala de aula, seguindo a orientação dos Programas Curriculares Nacional - PCNs, no que se refere a reunião de informações e ao desenvolvimento de conhecimentos, competências, habilidades e valores por meio de instrumentos reais de percepção, satisfação, interpretação, julgamento, atuação, desenvolvimento pessoal ou de aprendizado permanente.

Através das experiências, permitimos que o estudante organize seus conceitos, planeje as estratégias de trabalho, e desenvolva métodos de investigação quando se encontre frente a uma situação desconhecida. A experimentação motiva os estudantes, ativa a curiosidade, desenvolve a capacidade de controlar resultados e a troca de conceitos com o professor se torna mais intensa e produtiva.

## REFERÊNCIAS

- [1] A equação das lentes delgadas é encontrada em quase todos os textos de física básica. Veja, por exemplo, D. Halliday R. Resnick e J. Walker, Fundamentos da Física, LTC, Rio de Janeiro, 1997.
- [2] Veja, por exemplo, S. Chakravarti e P. B. Siegel, 'Visualizing the Thin Lens Formula', Phys. Teacher, 39 (Setembro, 2001), 342-343; P. Maheswaranathan, 'Revisting 'Visualizing the Thin Lens Formula'', Phys. Teacher, 39 (Novembro, 2001) 452.
- [3] Parâmetros Curriculares Nacional - PCNs, Ministério da Educação e Cultura.