CORPO NEGRO E DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA CONSTANTE DE PLANCK

## CORPO NEGRO E DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA CONSTANTE DE PLANCK

Marisa Almeida Cavalcante [marisac@pucsp.br] Rafael Haag [haag@if.ufrgs.br]

a GoPEF Grupo de Pesquisa em Ensino de Física da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo b Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Sul

## RESUMO

Este trabalho visa contribuir na área de instrumentação para o ensino de Física apresentando uma nova proposta para a determinação da constante de Planck utilizando diodos de emissão de luz, LED's ( Light Emitting Diode ) como sensores espectrais seletivos da radiação emitida por um filamento aquecido. A largura típica de resposta espectral de um LED, utilizado como sensor na região de 550nm a 700nm é da ordem de 25 a 35 nm o que nos permite selecionar adequadamente, para fins didáticos, o comprimento de onda da radiação analisada. A 'fotocorrente' gerada no LED é amplificada linearmente através de um amplificador operacional CI-741 obtendo-se em sua saída um sinal de tensão elétrica. Apresentamos também uma proposta de verificação da Lei de Stefan-Boltzmann, permitindo portanto, uma abordagem experimental do tema da distribuição de energia de um corpo negro, normalmente estudado em cursos de bacharelado e licenciatura em Física, obtendo-se excelentes resultados dispondo de poucos recursos.

## Considerações Iniciais

A teoria da distribuição espectral de um corpo negro é um tema em geral desenvolvido no inicio do terceiro ano do curso de bacharelado e licenciatura de Física, e que marca o nascimento da mecânica quântica. No entanto em geral faz-se apenas uma abordagem teórica, tendo em vista que os equipamentos didáticos utilizados para o estudo de alguns aspectos importantes desta distribuição espectral são na maioria dos casos importados e de alto custo. É importante ainda salientar que atualmente não existe nenhuma empresa nacional que desenvolva equipamentos destinados a laboratórios de Física Moderna, com exceção de alguns experimentos isolados. Este trabalho, portanto vem contribuir com uma proposta experimental sobre a distribuição espectral de um filamento de tungstênio aquecido com características semelhantes à de um corpo negro. A grande contribuição deste trabalho reside na forma através da qual selecionamos e detectamos a radiação, proveniente deste filamento. Esta seleção e detecção se processam através de LED's e apresentamos algumas referencias bibliográfica R3aR6 em que os LED's são utilizados em fotômetros solares o que valida a metodologia utilizada neste trabalho. De modo a permitir uma melhor compreensão do experimento proposto, faremos uma breve introdução teórica e em seguida apresentaremos os resultados obtidos.

## Introdução teórica: Corpo real x Corpo negro R1

Nossa proposta experimental consiste em verificar a Lei de Stefan-Boltzmann e obter a constante de Planck a partir da emissão espectral de um filamento aquecido. No entanto ao aplicarmos os resultados teóricos apresentados por Planck para o espectro de um corpo negro aos resultados experimentais devemos levar em conta a diferença existente entre o corpo negro ideal e o

corpo real utilizado no nosso experimento. No experimento proposto, o filamento aquecido de uma lâmpada é o corpo real e é considerado como um 'corpo cinza' apresentando um comportamento aproximado ao de um corpo negro. Desconsiderando a energia do ambiente a única fonte de energia que alimenta o filamento é proveniente da diferença de potencia aplicada à ele. Deste modo, a taxa de energia emitida pelo filamento é igual à potência elétrica dissipada, ou seja:

) , eq.01 onde, V corresponde a tensão aplicada ao filamento e i a T T ( A ) T T ( K Vi T 4 0 4 0 -σ ε + -= corrente que circula.

T ε , corresponde ao coeficiente de emissividade do filamento.

σ , corresponde à constante de Stefan-Boltzmann = 5,67 × 10 -8 W.m -2. K -4 A, corresponde à área do filamento.

Onde K é uma constante e o segundo termo, corresponde a lei de Stefan-Boltzmann.

Para a determinação da potência dissipada pelo filamento, basta medir a corrente elétrica e a diferença de potencial aplicada sobre este. A partir dos dados obtidos para a potência dissipada pelo filamento, construímos o gráfico log P x log T . Neste gráfico, a inclinação da reta nos fornece a potência que relaciona estas grandezas, já que para altas temperaturas de filamento a dependência linear da Eq. 01 é desprezível em relação a quarta potência da temperatura.

## Determinação da Temperatura do filamento R2

A temperatura absoluta T = t + 273 do filamento de tungstênio pode ser calculada pelas medidas de resistência R(t) do filamento (t é a temperatura em graus centígrados). Para a resistência de um filamento de tungstênio temos a seguinte relação R2 :

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sendo R0 a resistência a 0 o C e, α = 4,82 × 10 -3 K -1 e β = 6,76 × 10 -7 K -2

A resistência R pode ser calculada usando a relação: 0

<!-- formula-not-decoded -->

Tanto R(t a ) quanto R(t) são obtidas pela lei de Ohm, ou seja, pelas medidas de voltagem e corrente através do filamento.

Resolvendo a Eq.02 para temperatura T , chega-se a:

<!-- formula-not-decoded -->

## Dados Obtidos para verificação da Lei de Stefan-Boltzmann

Os gráficos abaixo foram obtidos para dois filamentos distintos e utilizando diferentes tensões de alimentação. Observe que as inclinações das retas nos fornecem valores muito próximos ao esperado pela Lei de Stefan-Boltzmann.

.

Fig.01: Gráfico obtido da potência dissipada pelo filamento e a sua temperatura para dois filamentos distintos e diferentes tensões de alimentação. No gráfico indicado a reta 1, foi obtida para um filamento de 12 volts e 48 watts (lanterna de automóvel) e a fonte de alimentação utilizada é uma fonte Minipa modelo PS 1800 de alta estabilidade e baixo ruído( mA RMS). Já a reta 2 foi obtida para um filamento de 3,8 volts e 300 mA (lanternas de mão) tendo 3 ≤ como fonte de alimentação um adaptador AC-DC com saídas de 1,5 a 12 Volts, encontrados em lojas conhecidas como tudo por 1,99. Para ambos temos um excelente acordo entre os dados experimentais e os previstos pela Lei de StefanBoltzmann, apesar da pouca estabilidade apresentada pelo adaptador AC-DC utilizado na obtenção da reta 2 (o que justifica a maior dispersão observada nos pontos experimentais da reta 2).

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## Determinação da constante de Planck

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<!-- formula-not-decoded -->

Portanto se obtivermos informações sobre a intensidade da radiação de comprimento de onda λ no intervalo d λ emitida pelo filamento para cada temperatura e representarmos estes valores em um gráfico Ln (I) x T devemos esperar que:

<!-- formula-not-decoded -->

Portanto a constante de Planck pode ser obtida a partir da inclinação da reta Ln (Intensidade para um dado ) x 1/T, onde: λ

<!-- formula-not-decoded -->

c = velocidade da luz = 3,0 x 10 m/s; 8 λ = comprimento de onda da radiação cuja intensidade esta sendo medida.

## Medida de I ( λ) ) λ d λ λ

A maior contribuição deste trabalho reside na medida desta intensidade. No experimento proposto a intensidade de luz não será medida diretamente. Mas teremos informação de uma

grandeza que será proporcional a intensidade. Utilizaremos como sensores de radiação LED's e como conseqüência a seleção do comprimento de onda e sua faixa se farão de modo natural. Um LED pode ser um bom detector de radiação e sua resposta está associada a faixa de freqüência que ele emite. A utilização de LED's como sensores de radiação vem sendo utilizadas em fotômetros solares R3-R6. Por ser um semicondutor sua condutividade aumenta a medida que fótons de energia correspondente a sua 'banda de emissão' incidem sobre ele. Sua resposta espectral como receptor é ligeiramente menor do que sua emissão, por exemplo um led verde que emite sua intensidade máxima em 555nm, têm sua resposta em absorção máxima é de 525nm R5 A corrente elétrica fornecida pelo LED, na incidência de uma radiação ressonante é proporcional a intensidade de luz incidente R5eR6 . A largura típica de resposta de um LED na região de 550nm a 700nm é da ordem de 25 a 35 nm R3 o que nos permite selecionar adequadamente o comprimento de onda da radiação analisada. Nos fotômetros solares R5eR6 tem sido utilizado como amplificador o CI 741, na configuração de conversor 'corrente x tensão' , onde a corrente gerada pelo LED (na ordem de poucos micro ampères) é convertida em tensão. Nesta configuração, a tensão presente na saída do amplificador operacional, será linearmente proporcional à intensidade da radiação recebida pelo LED. O esquema elétrico utilizado é indicado abaixo:

Fig.02: Esquema do amplificador de corrente-tensão utilizando o CI-741

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Portanto o procedimento consiste em medir a tensão oferecida na saída do CI 741 para cada led para diferentes valores de tensão e corrente no filamento.

## Dados Obtidos:

As retas representadas no gráfico da Fig.03 foram obtidas para uma lâmpada de 12 volts e 21 Watts de lanterna de automóvel e a fonte de alimentação do filamento utilizada foi a fonte Minipa modelo PS 1800 que nos fornece uma boa estabilidade.

Fig. 03: Gráfico Ln(Vled ) na saída do amplificador x 1/T , para os LED's vermelho, verde e azul.

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De acordo com a Eq.06, obtém-se para os valores da constante de Planck; Tabela1

## Análise dos resultados Obtidos

Podemos facilmente verificar que de acordo com a Eq.05 a relação entre as inclinações das retas obtidas para ln(V led ) x1/T nos fornece a relação entre as freqüência de emissão dos LED's. A tabela 2, apresenta a relação obtida para cada caso e o valor corresponde esperado.

Tabela 2

È importante notar que a precisão dos resultados obtidos neste experimento está limitada a largura de emissão de cada LED o que é indicado na 3 . coluna da tabela 2 nos conduzindo a a precisões inferiores a 7,5%.

Observa-se que as relações das inclinações das retas obtidas se aproximam consideravelmente dos valores esperados com desvio percentual inferior ao limite de precisão estabelecido em cada caso. Isso nos leva a crer que os desvios observados para os valores da constante de Planck indicados na tabela 1 devem ser atribuídos principalmente a erros na determinação da temperatura do filamento. Este erro fica evidenciado no cálculo da constante de Planck, no entanto desaparece na relação entre estas inclinações. Acreditamos que o valor de temperatura para maiores valores da relação R/R devem ser ligeiramente menores que os obtidos, o 0 que acarretaria em uma maior convergência do valor da constante h em relação ao valor esperado. De qualquer modo, podemos dizer que a relação de Planck pode ser evidenciada já que a relação entre as inclinações das retas Ln(Vled) x 1/T nos fornece a relação entre as freqüências das radiações que estão sendo detectadas pelos sensores. Os desvios obtidos podem ser considerados bastante satisfatório em relação aos erros sistemáticos introduzidos pelos aparelhos de medida utilizados.

## Observações Finais

Apresentamos neste este trabalho um equipamento que possibilita estudar experimentalmente alguns aspectos sobre a distribuição espectral de um filamento de tungstênio aquecido, cujas características são semelhantes à de um corpo negro. A grande contribuição reside na forma através da qual selecionamos e detectamos a radiação, proveniente deste filamento. A seleção e detecção se processam através de LEDS, que são utilizados com sucesso em fotômetros solares desde 1992. Os resultados obtidos mostram a linearidade entre LnV led x 1/T , onde V led é proporcional a intensidade de radiação com um dado comprimento de onda e a temperatura do corpo, o que confirma a equação de Planck para a distribuição espectral de um corpo aquecido. Verificamos ainda uma igualdade entre as inclinações das diferentes retas e as freqüências das radiações selecionadas com uma margem de erro dentro das incertezas experimentais dos instrumentos de medida utilizados. Obtivemos ainda a ordem de grandeza para a constante de Planck e acreditamos que os erros obtidos, nesta determinação devem ser associados à precisão com a qual obtivemos os valores de temperatura do filamento. Num futuro trabalho, deveremos caracterizar a curva de resposta espectral de LED's disponíveis no comércio nacional em vários segmentos do espectro, abrangendo desde o infravermelho até o segmento ultravioleta.

## Referências:

- R1. http://cref.if.ufrgs.br/hp/ler/experimentocorponegro/index.html: Pagina do Centro de Referencia do Ensino de Física da UFRGS, experimentação remota.
- R2. Manual de Experimentos da PHYWE - Experimento Verificação da Lei de StefanBoltzmann.
- R3. Mims,F.M. III. 'Sun photometer with light-emiiting diodes as spectrally selective detectors.' Apllied Otics, vol31, n.o33, pp6965-6966. 1992.
- R4. Acharya,B.Y.; Jayaraman,A.; Ramachandran,S. and Subbaraya,B.H. 'Compact lightemitting-diode sun photometer for atmosferic optical depth measuments.' Applied Optics. Vol 34, n.o 7 pp.1209-1214. 1995.
- R5. Sansosti,T.M. 'Led's Detectors' http://laser.physics.sunysb.edu/~tanya/report2/
- R6. Brooks,D.R.; Mims,F.M. III; Nguyen,T.; Bannasch,S. 'Caracterization of led-based sun phtometers for use as Gobe Instruments.' Globe Annual Meeting, Snowmass, Colorado, 1998. http://www.globe.gov