Alguns aspectos da Construção da Invariância de Gauge em uma Teoria de Campos: O Modelo Padrão

Alex Eduardo De Bernardini; Stefano De Leo

Alguns aspectos da Construção da Invariância de Gauge em uma Teoria de Campos: O Modelo Padrão

Alex Eduardo De Bernardini, Stefano De Leo

Evento: Simpósio Nacional de Ensino de Física ↗ (SNEF)
Edição: XVI
Ano: 2005
Data: 24/01/2005
Linha de pesquisa: Divulgação Científica E Comunicação No Ensino De Física
Tipo: Pôster

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Texto completo

## Alguns aspectos da Construção da Invariância de Gauge em uma Teoria de Campos: O Modelo Padrão

Some aspects about the Construction of Gauge Invariance in a Field Theory: The Standard Model

## Alex Eduardo de Bernardini

Departamento de Raios Cósmicos, IFGW, UNICAMP, C.P. 6165, 13083-970, Campinas, São Paulo, Brasil. E-mail alezebOifiunicamp.br.

## Stefano De Leo

Departamento de Matemática Aplicada, IMECO, UNICAMP, CP. 6065, 13083-970, Campinas, São Paulo, Brasil. E-mail deleoBime.unicamp.br.

Enviado em 15 de junho, 2004,

## Resumo

Neste texto estudamos alguns aspectos formais da construção da invariância de gauge em uma teoria de campos. Procuramos estabelecer uma descrição generalizada de como reescrever a parte cinética de uma lagrangiana sobre a qual se aplica uma transformação de gauge regida por uma simetria descrita por um acoplamento do tipo SU(n)v & SU(m)v. Ao final, aplicamos essa descrição à obtenção da lagrangiana do modelo padrão. Concluimos o texto com um exercício didático onde obtemos os vínculos fenomenológicos decorrentes da construção de uma lagrangiana invariante diante de uma transformação de gauge seguida de uma quebra espontânea de simetria de modo a obtermos as massas e os acoplamentos para bósons de gauge da teoria eletrofraca.

In this paper we study some formal aspects of the construction of gauge invariance in a field theory. We try to establish a general description of rewriting the kinetic part of a lagrangian over which a gauge transformation ruled by the symmetry coupling SU(n)v & SU(m)v have been applied. At the end, we apply such description for obtaining the standard model lagrangian. We conclude the text with a didactic exercise where we obtain the phenomenological constraints provided by the construction of a gauge invariant. lagrangian followed by a spontaneous symmetry breaking in order to obtain the electroweak gauge boson masses and couplings.

## 1 Introdução

Às simetrias e leis de conservação observadas na natureza representam um papel crucial na Física, pois a associação destas propriedades reflete leis da própria natureza, servindo como guia na construção de teorias, Historicamente, tanto a simetria em si, como a quebra de algum padrão de simetria, têm servido como instrumentos de obtenção de conhecimento.

À associação entre simetrias e leis de conservação é mais convenientemente verificada no formalismo hamiltoniano: uma lei de conservação de um sistema físico é diretamente relacionada à invariância do hamiltoniano H do sistema por um correspondente grupo de transformações. Formalmente, para um grupo de transformações representado por um dado operador $, a invariância é expressa na forma

## sHS!=H.

A natureza exibe uma variedade de leis de conservação aparentemente exatas, que acreditamos refletir a operação de simetrias exatas. Entretanto, muitas simetrias da natureza são apenas aproximadas. Podemos compreender tal comportamento através da dinâmica do sistema físico. Em um nível fundamental, isto pode ser feito dentro da estrutura de teorias de campos, onde há duas maneiras básicas de uma simetria revelar-se

aproximada: a densidade de lagrangiana £ do sistema pode conter termos não invariantes pela transformação relevante ou £ pode ser simétrica em relação a uma determinada simetria não respeitada pelo vácuo físico. No primeiro caso, a simetria é explicitamente quebrada por termos não invariantes sob a simetria apresentada pelo resto da lagrangiana!. No outro, dizemos que a simetria é oculta ou espontaneamente quebrada? [1].

Como diversas formas de simetrias podem ser encontradas na natureza, uma classificação geral das simetrias pode ser implementada. Com relação aos tipos de parâmetros que as definem, podemos classificá-las em discretas ou contínuas. Ás primeiras, como o próprio nome indica, possuem parâmetros discretos. Na Física das partículas elementares, como exemplos de simetrias discretas temos a paridade P, a conjugação de carga C e a inversão temporal T. No caso de simetrias contínuas, os parâmetros tomam valores contínuos; típicos exemplos são as rotações, genericamente escritas como R(6), onde o ângulo de rotação 9 pode variar continuamente.

Dentre as simetrias contínuas podemos separar as simetrias geométricas ou externas das simetrias internas. As simetrias externas atuam no espaço-tempo, ou seja, referem-se a invariâncias do sistema por transformações das coordenadas x, = (t,x). Como exemplos de simetrias externas podemos citar translações, rotações etc. Por outro lado, as simetrias internas atuam sobre números quânticos internos.

Podemos ainda subdividir as simetrias em dois diferentes grupos: simetrias globais, onde os parâmetros da transformação não dependem das coordenadas x, e as simetrias locais, cujos parâmetros dependem das coordenadas x, com as transformações diferindo ponto a ponto no espaço-tempo.

Um importante aspecto da física de partículas está na possibilidade de acomodarmos o espectro de partículas conhecidas em representações irredutíveis de um determinado grupo de simetria interna. Um tipo importante e particular de simetria interna é a chamada simetria de gauge, utilizada como um princípio dinâmico na construção de teorias de campos. Áo longo do tempo, a idéia de que as interações fundamentais da natureza são determinadas pela simetria de gauge adquiriu uma importância essencial. As teorias dotadas com simetrias de gauge têm como importante propriedade o fato das interações dos campos de gauge serem ditadas pela simetria em questão, reduzindo consideravelmente as possíveis formas de interação. Concomitantemente, as simetrias de gauge introduzem um certo grau de unificação entre as diferentes interações conhecidas, desde que elas passem a ter uma estrutura geométrica comum.

Neste contexto, este trabalho introduz uma pequena contribuição ao entendimento desta estrutura geométrica de uma teoria de gauge. Na seção 2, apresentamos, em linhas gerais, a construção das propriedades de invariância da parte cinética de uma lagrangiana diante de transformações unitárias que caracterizam as transformações de simetria descritas por um acoplamento SU (n); & SU (n)v. Não nos preocupamos com eventuais termos de interação pois em uma teoria do tipo Ad! [1]. a única que, em princípio, é interessante ao desenvolvimento do modelo padrão, a descrição das propriedades de invariância local é imediata. Na seção 3 aplicamos este desenvolvimento em um exemplo naturalmente conhecido, a teoria de Glashow-WeinbergSalam (GWS) |2, 3, 4] para interações eletrofracas que corresponde ao modelo padrão, cujas transformações «de simetria são descritas por um acoplamento SU(2), & U(1),. Nesta seção, apenas para efeito de completeza, acrescentamos a obtenção dos vínculos fenomenológicos decorrentes da quebra espontânea da simetria SU(2), 9 U(1),. Descrevemos esse processo procurando apontar claramente as condições sobre a lagrangiana. que determinam a obtenção de tais vínculos, o que, outrora, não é sempre feito de forma simplificada nos livros didáticos. À seção 4 se presta às considerações finais.

## 2 Construção Formal da Invariância de Gauge em uma Teoria de Campos

Na vasta literatura, muitas das vezes, não encontramos explícitos os princípios e as características que devem apresentar uma transformação de gauge sobre uma simetria de grupos não abelianos?. Procuramos, então, da maneira mais clara e sucinta possível, ilustrar a construção do termo cinético de uma lagrangiana invariantes «diante deu uma transformação de gauge de um acoplamento de simetrias (não abelianas) SU (n); & SU(n)y

Imaginemos um campo fermiônico Y que se apresente com uma transformação de gauge global diante de uma operação do grupo de simetria SU (n), & SU (n), representada por

onde U(V) são as matrizes de rotação unitária do SU (n); (SU (n)v).

Como 'Y se transforma conforme (2), podemos escrever um elemento da lagrangiana invariante diante de uma transformação de gauge global em SU (n); & SU(n)y

de modo que U comuta com V pois correspondem a simetrias distintas. Se resolvemos impor, não mais uma invariância global, mas uma invariância local sob uma transformação do SU (n); & SU(n)v, o mesmo elemento da lagrangiana (3) deve se transformar como

Para determinarmos como se transforma D, diante de uma transformação de gauge local em SU(n)s & SU(n)v, aplicamos (4) sobre um campo é qualquer, i. e. Dó Com

obtemos

«e onde não podemos fatorar o campo é, sendo esta a maneira mais sucinta de determinarmos D/.. Agora que conhecemos o comportamento de DJ, diante de uma transformação de gauge local do SU (n)y & SU(n)v, definimos D

Os operadores wet são anti-hermitianos! definidos como

onde TE!" são os geradores de simetria do SU(n).(v) € Wap representam os bósons de gauge vetoriais. Para definirmos a transformação de gauge local sobre Wit, aplicamos a definição (7) de D, em (6)

Desta maneira, obtemos

«de modo que a invariância de gauge local seja completamente satisfeita em (4).

Se continuarmos esta análise, a mesma pode ser bastante útil na construção do termo cinético para bósons de gauge. Observamos facilmente que

de modo que D,(D,W) assim como [D,, D,]W se transformam exatamente como Y. A definição da derivada covariante permite que escrevamos

onde

de modo que obtemos diretamente que o termo cinético para bósons de gauge do SU (n),(v, também é um invariante

Obviamente, para o termo cinético de bósons escalares da que se transformam como multipletos do SU (n),(wy em questão, à invariância da lagrangiana é obtida imediatamente, Finalizamos esta seção escrevendo como se apresenta a parte cinética de uma lagrangiana invariante diante de uma transformação de gauge local SU(n)u & SU(n)y da forma como descrevemos até aqui,

Reiterando o comentário feito na introdução, não nos ocupamos com o estudo das propriedades de invariância de eventuais termos de interação pois situações envolvendo os mesmos em dimensões de massa maiores do que quatro (Aó!) não se adaptam ao contexto deste trabalho.

## 3 A Teoria GWS para Interações Eletrofracas

Partiremos, agora, das definições fundamentais vistas até este ponto para descrevermos a teoria de GlashowWeinberg-Salam (GWS) para interações eletrofracas e algumas de suas particularidades.

Sabemos, por exemplo, que a QES de uma simetria SU(2) mediante a consideração de um campo de Higgs na representação 2 - dim não gera nenhum bóson de gauge sem massa para associarmos à interação eletromagnética.

Com o intuito de obtermos os resultados ordenadamente, primeiramente escrevemos a lagrangiana apenas com os termos cinéticos para bósons e férmions do modelo, definindo os como elementos do SU (2), SU(1), e posteriormente caracterizando como partículas /campos cada um destes elementos.

À lagrangiana proposta inicialmente é escrita exatamente como em (15)

Como agora estaremos aplicando todo o formalismo da seção anterior sobre um sistema de interações regidas pelo acoplamento de simetrias SU (2), & U(1)y? sabemos que 'Y se transforma como

onde definimos explicitamente

onde Y é o número quântico de hipercarga da simetria U(1)y e T; = & são os geradores do SU(2), de modo que o; são as matrizes de Pauli. Reescrevemos a derivada covariante D, como

onde utilizamos o fato de V de U(1), atuar matricialmente como uma identidade. Os tensores F,, são escritos como

e

Os campos fermiônicos? W = W, com quiralidade L se transformam como dubletos do SU(2), enquanto que os campos E = P, se transformamm como singletos do SU(2),. O campo escalar &" se transforma como um dubleto do SU(2), e tem valor esperado de vácuo não invariante diante de pelo menos uma transformação do SU(2),. Os bósons de gauge vetoriais Wi que são mediadores das interações chirais L estão associados às transformações de simetria representadas pelos geradores Tº do SU(2), e o bóson B" à única tranformação de simetria U(1)y. A lagrangiana (20) é localmente invariante diante das transformações de gauge simultaneamente aplicadas e descritas da seguinte forma

Desta maneira, se parametrizamos o campo de Higgs é, tomando obviamente os termos de primeira ordem da exponencial, como em

observamos que o valor esperado de vácuo

se mantém invariante diante de uma transformação de gauge com a, = 0) = 0 e a; = 8. Esta informação é importante pois podemos notar que de quatro operações de simetria (três do SU (2), e uma de U(1),) resta

apenas uma combinação que mantém a simetria sobre &p. Justamente esta combinação é que ocasionará a geração de um bóson de gauge sem massa. Os bósons remanescentes das três simetrias quebradas adquirem massa pelo mecanismo de Higgs como veremos explicitamente a seguir.

Ainda sobre os campos de Higgs, conforme observamos no formalismo geral sobre a propriedade de invariância de gauge, em algumas situações, quando tivermos trabalhando com simetrias superiores, torna-se mais interessante o uso da notação matricial para o campo de Higgs

## 3.1 Massas para os bósons de gauge

Para determinarmos as massas geradas pelo mecanismo de Higgs não há outra forma se não a de escolhermos O gauge unitário para que possamos observar explicitamente os efeitos de uma transformação de gauge no termo

Duas informações protagonizam o processo a ser desenvolvido a partir deste ponto. A primeira delas, como vimos no final da seção anterior, se refere ao fato de que após o processo de QES ainda permanecer remanescente uma simetria U(1) com um bóson mediador sem massa, os quais identificamos respectivamente como U(1) gm e o fóton. A segunda informação, decorrente da anterior (ou vice-versa) é a de que definimos o número quântico de carga elétrica como.

de modo que

A escolha do gauge unitário faz com que possamos escrever

Se utilizamos esta última transformação em (26) e aplicamos as trasformações de gauge de (21) e (23), bem como a condição (28), obtemos

Desta maneira reescrevemos os bósons de gauge em uma tentativa de descrevê-los como autoestados de carga e de massa

- e Bósons carregados.

com massa my = gu

- * Bósons neutros,

2+9% " es onde mz = VP, ema = 0, como podemos obter dos cálculos subsegientes. Sob estas condições o termo geral para a derivada covariante pode ser reescrito como

e, novamente, ao aplicarmos (28), obtemos

de onde é imediata a observação de que o campo correspondente a A" é um campo sem massa. Este campo é identificado imediatamente como o potencial eletromagnético vetorial (fóton) se acoplando a outros campos mediante interações eletromagnéticas. Podemos ainda escrever as seguintes parametrizações

juntamente com a constante de acoplamento para a interação eletromagnética (e)

em cima das quais a derivada covariante se resume a

Concluindo, podemos verificar que os acoplamentos de todos os bósons fracos são descritos por apenas dois parâmetros: a carga elétria (e) e o ângulo de mistura (9), sendo possível descrevê-los em termos da constante «e acoplamento relativa ao SU (2), e das massas dos bósons vetoriais

Todos os efeitos nos processos de interação eletrofraca, em um nível fundamental, podem ser descritos em função dos três parâmetros: e, Oy e myw-

## 4 Considerações finais

Neste texto procuramos elaborar as regras da construção do termo cinético de uma lagrangiana invariante diante da transformação de gauge descrita de forma geral por um acoplamento de simetrias SU (n), & SU(m)y. Estendemos esse desenvolvimento à obtenção das propriedades da bem conhecida teoria GWS para interações eletrofracas, o modelo padrão.

Para estudantes mais assíduos no estudo de modelos de unificação [5], a aplicação do formalismo descrito na seção 1 torna bastante clara a obtenção de propriedades como massas e acoplamentos dos bósons de gauge quando aplicadas no estudo de modelos de unificação como, por exemplo, o modelo SU (2), 2 SU (2) SU(1)p-z de Mohapatra-Pati [6] ou o modelo SU (4). =» SU(2), & SU(2)x de Pati-Salam [7]. Esperamos, portanto, ter oferecido uma contribuição àqueles que se iniciam no estudo de trasformações de gauge aplicadas em modelos «e simetria do tipo SU (n)y & SU(m)y bem como propriamente para aqueles que se iniciam no estudo do modelo padrão.

## Agradecimentos

Este trabalho foi possível graças ao Suporte Financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).

## Referências

[1] Veja, por exemplo, M. E. Peskin and D. V. Schroeder in An Introduction to Quantum Field Theory, Sec. 11.1, (Addison -Wesley Publishing Company, New York, 1995).

- [2] S. L. Glashow, Nuel. Phys., 20, 579 (1961)]
- [B] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett., 19, 1264 (1967).
- [4] A. Salam in Elementary Particle Theory, p.367, (N. Svartholm, Stocholm, 1968).
- [5] Veja, por exemplo, R. N. Mohapatra, Unification and Supersymmetry (Springer -Verlag, Berlin, 1986).
- [6] R. N. Mohapatra and J. C. Pati, Phys. Rev. D 11, 566 (1975).
- [7] J. C. Pati and A. Salam, Phys. Rev. D 10, 275 (1974).

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