Contribuções do Cálculo à Aprendizagem da Hidrostática

## CONTRIBUIÇÕES DO CÁLCULO À APRENDIZAGEM DA HIDROSTÁTICA

Luiz Claudio Pereira [cpereira@unb.br]

Universidade Federal de Viçosa

## RESUMO

Na maioria das instituições brasileiras de ensino superior, as disciplinas de Física e de Cálculo são ministradas simultaneamente. Embora esta prática tenha certas vantagens, apresenta as seguintes desvantagens: em Física, sob o argumento de que o instrumental matemático ainda não foi visto, os problemas cujas resoluções exijam o uso do Cálculo são omitidos; em Cálculo, por sua vez, não há interesse em usar parte do tempo na resolução de problemas físicos. Deste modo, estabelece-se um distanciamento entre o ensino de Física e de Cálculo.

O principal objetivo deste trabalho é preencher esta lacuna. Para isso, serão estudados alguns problemas físicos em hidrostática cujas soluções somente podem ser conseguidas por meio de uma compreensão clara dos conceitos físicos envolvidos e do manejo adequado de definições e técnicas matemáticas, notadamente o de integral definida. Embora fosse possível estudar problemas de mecânica, preferiu-se problemas em hidrostática pois nos livros textos usuais raramente encontram-se situações em hidrostática cuja resolução exijam o uso de integral.

Consoante com a regra geral que afirma que problemas em física devem ser resolvidos em sua forma geral, estudou-se o problema da força total decorrente da pressão de um líquido sobre a comporta, em forma de trapézio isósceles, de uma represa quando (a) a comporta está inclinada de um ângulo θ da vertical e é adjacente à superfície do líquido e (b) a comporta é vertical e está situada abaixo da superfície do líquido. Estes dois problemas têm a vantagem de reduzirem-se aos problemas envolvendo faces retangulares normalmente encontrados nos livros textos [1][3][4].

## CONSIDERAÇÕES FÍSICAS

Um fluido, ao contrário de um sólido, é uma substância que pode fluir. Ela flui porque não suporta forças de cisalhamento. Um fluido em repouso é dito em equilíbrio estático. Quando uma força atua sobre um c erto elemento de superfície, cuja área é muito pequena, a componente da força ortogonal ao elemento de superfície é chamada força (normal) de pressão. A pressão é uma quantidade escalar igual à razão entre a intensidade da força e a área do elemento de superfície sobre a qual ela atua. Em vista dessas considerações, se um fluido está em equilíbrio estático, então a força sobre um elemento de superfície deve ser normal à superfície.

Considere um fluido em equilíbrio estático. A pressão (absoluta), A p , em um ponto A situado a uma profundidade h , é igual à soma da pressão exercida na superfície do fluido, 0 p , e a pressão exercida pela coluna de fluido acima do ponto A . Seja S um elemento de área muita

1

pequena situado no ponto A . A força de gravidade atuando na coluna de fluido é hSg mg ρ = , onde ρ é a densidade do fluido no ponto A . Segue que

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Deste modo, a pressão absoluta sobre qualquer elemento de superfície (de área muito pequena) colocado no ponto A , não importando o ângulo que este elemento faz com a horizontal, é dado por (1). A pressão manométrica (padrão), p , no ponto A de um fluido é a diferença entre A p e 0 p . De (1), segue que h p ω = , onde

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representa o peso por unidade de volume do fluido acima do ponto A . Por definição, a força manométrica (padrão), F , no ponto A do fluido situado a uma profundidade h , é

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Note que S representa a área (muito pequena) de um elemento de superfície situado no ponto A , não importando o ângulo que este elemento faz com a horizontal.

## CONSIDERAÇÕES MATEMÁTICAS

Seja f uma função contínua em intervalo fechado ] , [ b a e F uma função tal que ) , para todo ( ) ( ' x f x F = x em [ ] . Então, , b a

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Este resultado é conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo [2]. A função F é uma primitiva de f . O membro esquerdo de (4) é chamado integral definida de f em [ ] . , b a

Ao utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular uma integral definida, deve-se primeiramente obter uma primitiva de f . Isso, contudo, pode ser impossível já que algumas funções não têm primitiva. Por exemplo, a função ) , não tem primitiva, apesar de exp( ) ( 2 x x f -=

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existir e ter um valor bem determinado. De um ponto de vista histórico, esta maneira de interpretar (4) foi desenvolvida no século XVIII. Por outro lado, a idéia de integral definida é muito mais antiga. Ela remonta aos trabalhos de Arquimedes, embora somente no século XIX uma definição rigorosa, como a apresentada a seguir, tenha sido desenvolvida.

Dado um intervalo [ ] , u ma partição , b a } de [ , ,..., , , { 1 2 1 0 n n t t t t t P -= ] é um subconjunto , b a finito tal que b t t t t t a n n = &lt; &lt; &lt; &lt; &lt; = -1 2 1 0 ... . Cada intervalo ], , [ 1 i i t t -n i ,..., 2 , 1 = , é chamado -i ésimo subintervalo da partição P , 1 --≡ ∆ i i i t t t é o comprimento do -i ésimo subintervalo e t i n i ∆ = ∆ ≤ ≤ 1 max , o comprimento do maior subintervalo de P . Escolhido um ponto i ξ em [ ] e , 1 i i t t -sendo f uma função contínua em [ ] , chama-se integral definida de , b a f , de a até b , ao limite

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## FORMULAÇÃO E SOLUÇÃO DOS PROBLEMAS HIDROSTÁTICOS

Agora, usando os conceitos físicos básicos, a construção de integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo vistos acima, serão estudados dois problemas relacionados à hidrostática.

## O Problema da Face Trapezoidal Vertical

Considere que a face de uma comporta de uma represa é vertical e tem a forma de um trapézio isósceles com a metros de largura na parte superior, b metros de largura na parte inferior e c metros de altura. O problema consiste em determinar a força (total) decorrente da pressão do fluido sobre a comporta, supondo que o lado superior da comporta está h metros abaixo da superfície do fluido (Fig. 1).

b

-

2

a

b

+

2

a

Figura 2

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h

+

h

x

i

1

-

x

i

c

x

∆

A

i

Figura 1

b

y

Considere um sistema de coordenadas como o da Fig. 1. A equação da reta que passa por ) e ( 2 / ) ( , ( a b h -) é 0 , c h + c a b c h x b a x y 2 / )] )( ( ) [( ) ( 1 -+ + -= e a equação da reta que passa por ) 2 / ) ( , ( b a h + e ) , ( b c h + é b c b a c h x a b x y + -+ + -= 2 / )] )( ( ) [( ) ( 2 . Considere uma partição } do intervalo , ,..., , ,..., , { 1 1 1 0 n n i i x x x x x x P --= ] e , [ c h h + A i ∆ o elemento (infinitesimal) de área, em forma de trapézio, definido pelos pontos )) , ( , ( 1 1 1 --i i x y x )) , ( , ( 1 2 1 --i i x y x )) ( , ( 1 i i x y x e )) . Tomando o ponto ( , ( 2 i i x y x 2 no / ) ( 1 i i i x x + = ξ --i ésimo subintervalo [ ] e escrevendo , 1 i i x x -1 --= ∆ i i i x x x , obtém-se que x a c h a b A i i i ∆ + -ξ -= ∆ ] / ) )( [( . Em vista de (3), segue que a força sobre o elemento de área A i ∆ é x a c h a b F i i i i ∆ + -ξ -ωξ = ∆ ] / ) )( [( . Portanto, a força (total) sobre a comporta é dada por

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## O Problema da Face Trapezoidal Inclinada

Considere que a face de uma comporta de uma represa é adjacente à água e está inclinada a um ângulo θ da vertical. Suponha que a comporta tenha a forma de um trapézio isósceles com a metros de largura na parte superior, b metros de largura na parte inferior e c metros de altura oblíqua. O problema consiste em determinar a força (total) decorrente da pressão do fluido sobre a comporta.

Considere um sistema de coordenadas como o da Fig. 2. Procedendo como no problema anterior, verifica-se que α ≡ θ --≤ ≤ cos 2 / ] ) ( 4 [ 0 2 / 1 2 2 b a c y . Sejam } uma , ,..., , { 1 1 0 n n y y y y P -= partição de ] , 0 [ α e A i ∆ o elemento (infinitesimal) de área, em forma de trapézio, dado por )) , ( 2 /( ) ( , , tan ( 1 1 1 α -θ ---b a y y y i i i )) , ( 2 /( ) ( , , tan 1 1 1 α --θ ---b a y a y y i i i )) e 2 /( ) ( , , tan α -θ b a y y y i i i )) . 2 /( ) ( , , tan ( α --θ b a y a y y i i i Tomando o ponto 2 / ) ( 1 i i i y y + = ξ -no -i ésimo subintervalo ] e escrevendo , [ 1 i i y y -1 --= ∆ i i i y y y , obtém-se que y a b a A i i i ∆ θ αξ -+ = ∆ ) ](sec / ) ( [ . Em vista de (3), segue que a força sobre o elemento de área A i ∆ é y a b a F i i i i ∆ θ αξ -+ ωξ = ∆ ) ](sec / ) ( [ . Portanto, a força (total) sobre a comporta é dada por

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## Referências

- [1] HALLIDAY, David, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl. Fundamentos de Física . Rio de Janeiro: LTC, v. 2, 1997.
- [2] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica . São Paulo: Harper &amp; Row, v.1, 1982.
- [3] MCKELVEY, J. P. e GROTCH, H. Física . São Paulo: Harper &amp; Row, v. 2, 1979.
- [4] TIPLER, P. A. Física: mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica . Rio de Janeiro: LTC, v. 1, 2000.