DE LOS NUMEROS AL ALGEBRA EN CINEMATICA ELEMENTAL: ANALISIS DE UN CUESTIONARIO

## DE LOS NÚMEROS AL Á ÁLÁLGEBRA EN CINEMÁTICA ELEMENTAL: ANÁLISIS DE UN CUESTIONARIO

Silvia Margarita Pérez y M. Celia Dibar Ure

CEFIEC, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos A AiAires

silviamargaritaperez@yahoo.com.ar r celiadibar@yahoo.com

## INTRODUCCIÓN

En este trabajo presentamos un primer estudio de los trayectos particulares de seis alumnos de los 31 de un curso universitario de primer r año que contestaron un cuestionario de cinemática elemental que enfoca el problema del uso de la matemática en ese tema. Este estudio continúa el análisis de los datos aportados por el cuestionario, cuyos resultados anteriores (Pérez y Dibar Ure, 2004) serán también presentados resumidamente a fin de complementar la discusión.

El tema abordado es la velocidad media . Este tema fue elegido por ser uno de los primeros en la enseñanza tradicional de física en que los alumnos se enfrentan con el uso de lenguaje matemático, aún cuando sus conocimientos intuitivos les permiten ya resolver problemas sencillos antes de la presentación formal de la teoría.

Las dificultades del uso del lenguaje matemático en física son bien conocidas por los docentes y han sido confirmadas por investigaciones precedentes (Dibar Ure, 1984 y 1995). Una de las hipótesis de trabajo es que el conocimiento matemático es condición necesaria pero no suficiente para la resolución de problemas en física y que el entramado particular entre los conceptos y sus representaciones algebraicas da por resultado dificultades específicas no reductibles solamente a problemas conceptuales o problemas algebraicos.

El marco teórico que orienta nuestra investigación es el del Modelo de Redescripción Representacional (RR) de A. Karmiloff Smith (1992) que se encuadra en la discusión de la especificidad de dominios (Hirschfeld y Gelman, 1994). La tesis de Karmiloff es que el desarrollo consiste precisamente en el paso de la información implícita embutida en un proceso de resolución eficaz de problemas a un conocimiento cada vez más explícito. La autora afirma que para que dos dominios puedan establecer conexiones es necesario que el conocimiento esté representado en cada uno de ellos en forma explícita. El proceso recursivo de sucesivas redescripciones representacionales podrá llegar a modularizar (automatizar en cierto grado) ciertos procesos, que serán encapsulados economizando recursos cognitivos.

Resulta de interés particular estudiar los mecanismos con los que los sujetos resuelven problemas en el dominio del mundo físico que supongan el uso de relaciones matemáticas. La cuestión de los dominios y el modelo RR pueden ayudarnos a describir las dificultades que enfrentan los estudiantes. Contar al menos con una dedescripción del proceso será útil para desarrollar estrategias didácticas para su superación.

## METODOLOGÍA

Esta es una investigación de tipo cualitativa, exploratoria y donde los datos se agrupan en categorías que no son provistas a priori por el marco teórico. Las categorías surgen del análisis mismo de los datos (Glaser y Strauss, 1967 Hopkins et al, 1989), agrupando aquellos que tienen características similares. Esto supone un trabajo de inmersión en los datos que permite conocer todas sus similitudes y diferencias de manera de poder encontrar una categorización que los describa lo más fielmente posible. Luego de realizada esa primera lectura de todos los cuestionarios, elegimos describir las respuestas a cada uno de los ítems del cuestionario eludiendo la la natural tendencia de seguir el particular trayecto de cada alumno para no perder las características de las respuestas ante cada pregunta. Así,

en una estructura que imaginamos como una matriz, el análisis pregunta por pregunta ocupa las columnas de una matriz y las filas están constituidas por las respuestas de un mismo alumno. El avance que presentamos en este trabajo constituye, entonces, la elección de seis de las filas de esa matriz analizando la trayectoria de esos alumnos. Estos seis casos, para comenzar la discusión, fueron seleccionados de forma tal que muestran ejemplos de resoluciones suficientemente variadas. Serán presentados en un orden que va de las más correctas a las que presentan más errores. El análisis de cada columna será presentado resumidamente más adelante, con el fin de dar un panorama más general de nuestro trabajo.

## DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA Y LOS INSTRUMENTOS

Participaron 31 estudiantes de un curso de Física Aplicada I, correspondiente al primer año de la Facultad de Arquitectura de la Universidad de Palermo de la Ciudad de Buenos Aires. Los alumnos son de clase media a media alta. Se realizó la toma de datos durante la segunda clase de la materia, cuando aún no había sido presentado ningún concepto de cinemática, aunque sabemos quque en el paso por la escuela secundaria la mayoría de los alumnos han visto el tema.

El instrumento utilizado fue un cuestionario para contestar en forma escrita, individual y anónima. Se les explicitó que si no podían resolver algo, o no entendían alguna pregunta por favor lo dejaran por escrito. También se trató de dejar en claro que quizás hubiera preguntas que no supieran contestar, ya que fueron incluidos problemas que quizás excedían sus conocimientos con la intención de medir de alguna manera los límites de lo que pueden resolver con lo que ya saben.

Se repartieron los cuestionarios. Como forma de prevenir la copia, un hábito difícil de erradicar aún cuando no hay intención de evaluar, se hicieron tres temas con pequeños cambios en los números involucrados cuidando que en todos los casos las cuentas a resolver fueran del mismo nivel de dificultad (en el Anexo se presenta una de estas versiones) Esta etapa fue resuelta en no más de 30 minutos por los participantes.

## RESULTADOS

Los participantes mostraron una excelente disposición para responder, contestando el cuestionario en forma totalmente individual y sólo consultando si podían usar calculadora, a lo que se les contestó que sí aunque también podían dejar expresadas las cuentas si así lo deseaban.

## AnAnálisis alumno por alumno

## ALUMNO A

El resuelve correctamente los ítems 1 al 4 del cuestionario. Pone claramente en evidencia todas las cuentas que hace, con aclaraciones escritas, por ejemplo:

Dolores (200 km de Bs. As)

-- Atalaya (100 km de Bs. As.)

## 100 km

Muestra una representación aritmética con unidades, sumamente explícita ya que incluye cuentas que, por evidentes, no suelen aparecer en las respuestas de otros alumnos. Por ejemplo,

5 + 1 = 6

100 km / 100 km/h = 1h

En el problema 8 muestra una representación clara de la situación propuesta, que le permite llegar exitosamente al resultado utilizando la fórmula de velocidad media y despejando la variable pedida (t) en lenguaje algebraico.

Sin embargo, cuando en el ítem 9 se le propone un trabajo puramente algebraico donde han desaparecido los datos, contesta "no sé cómo hacer"r".

## ALUMNO B

En los ítems 1 al 4 el alumno calcula correctamente, pero cuando se pregunta por las cuentas realizadas, no las puede explicitar. Al no haber marcas de cuentas realizadas, el manejo de números es totalmente implícito.

En los ítems 7 y 8 a. puede reemplazar correctamente los datos y calcular las velocidades medias haciendo una selección adecuada de los datos necesarios.

Resuelve correctamente el ítem 8 b., mostrando una representación parcialmente explícita con números y recurriendo a la "regla de tres" llegando correctamente al resultado final. No hay rastros de utilización del álgebra, si bien en la pregunta 9 muestra conocerla y dominarla.

Ese dominio del álgebra no le resulta útil en el problema 8 b. como para unificar procedimientos.

## ALUMNO C

El alumno responde correctamente la pregunta 1, pero cuando se le pide que explicite la cuenta realizada escribe una fórmula que muestra los rastros de una enseñanza deficiente:

vp = df-f-di / tf - - - ti

La confusión entre distancia y posición, que suele ser el problema para pasar de lo intuitivo a lo formal, se acentúa si en la expresión de la velocidad media aparecen distancias finales e iniciales.

Si bien muestra popoder trabajar algebraicamente con la fórmula que propone, la confusión que le genera la diferencia de distancias hace que no pueda llegar al resultado correcto en la pregunta 3.

Los reemplazos propuestos en los ítems 7 y 8a. los realiza correctamente. Para resolver el problema 8b. no utiliza la fórmula propuesta sino la que ya había mostrado conocer y al confundir nuevamente distancia con posición no puede llegar a un resultado correcto. En el camino de la resolución muestra que el tiempo inicial le "molestata" para resolver las ecuaciones. No le encuentra un valor adecuado, por lo tanto le quedan dos incógnitas y entonces lo tacha.

En el ítem 9 vuelve a mostrar que puede manejar el álgebra y los pasajes de términos, ya que lo realiza correctamente.

## ALUMNO D

El alumno contesta bien la pregunta 1. En la pregunta 2, para explicar la cuenta que hizo escribe lo siguiente:

4hs ---------400 km -------100 km/h

8hs ---------400 km -------50 km/h

100km/h / 2 = 50 km/h

Parece estar utilizando una notación de tabla, o de proporcionalidad inversa usando el dato, no dado pero conocido, que si se tardan 4 horas en realizar un viaje de 400 km, la velocidad media es de 100 km/h. Parece razonar que si se tarda el doble, es porque la velocidad media disminuye a la mitad.

Contesta ta correctamente la pregunta 3, pero no explica la cuenta hecha pedida en el ítem 4.

Halla correctamente las velocidades medias pedidas en los puntos 7 y 8a., reemplazando correctamente los datos. En la pregunta 8b. halla numéricamente la distancia recorrida, no explicita cómo calcula la hora de llegada pero pone un número incorrecto. Sólo aparecen números, sin rastro de utilización de la fórmula dada.

Contesta correctamente la pregunta 9, realizando todos los pasos intermedios para despejar lo pedido.

## ALUMNO E

El alumno contesta correctamente la pregunta 1, y en la pregunta 2 describe la cuenta hecha escribiendo

## 400/8

Contesta correctamente la pregunta 3 escribiendo "l"llega a Dolores a las 6 de la tarde" " pero al describir la cuenta que hace plantea una regla de tres explicando con palabras que

300km ----------5h

100 km -----------x -x

300 km hay desde Atalaya hasta Mar del Plata, ese tiempo tarda 5 hs.

Entonces para hacer 100 km, tarda 1 h , 6.

Parece estar tomando el tiempo de viaje hasta el final del mismo, deducido por resta de la hora de llegada. La regla de tres no da por resultado 1h, pero probablemente al escribir que el tramo pedido es de 100 km, vuelve a tomar en cuenta que la velocidad media cambió, y escribe el resultado adecuado.

En el ítem 7 no reemplaza bien los datos en cada variable, por lo tanto la cuenta no le da lo mismo que en el problema 1. Sin embargo, asigna el valor 50 km/h a la velocidad media, quedando entonces

<!-- formula-not-decoded -->

A partir de ese punto, deja en blanco los demás ítems pedidos.

## ALUMNO F

El alumno contesta mal la primera pregunta, y en la pregunta 2 describe la cuenta hecha como una regla de tres en la que utiliza como dato

<!-- image -->

Opera siguiendo el mecanismo correctamente y obtiene una "velocidad" de 125 km/h. Intenta un mecanismo similar en las preguntas 3 y 4 pero no escribe ningún resultado.

En el ítem 7 no puede reemplazar todas las variables, ya que deja en blanco el xo xo y pone el tiempo empleado en t. En el ítem 8a. reemplaza bien x y xo xo pero vuelve a tomar t como el tiempo del recorrido, asignando bien el valor de t o.

Deja en blanco el problema 8b. e intenta despejar la variable pedida en el ítem 9, aunque lo hace mal.

<!-- formula-not-decoded -->

## Análisis por pregunta

Vale la pena comenzar por describir un resultado interesante antes de realizar un análisis sistemático de las respuestas. Llama la atención que 15 de los 31 participantes utiliza el

formato de la regla de tres para resolver uno o más de los problemas planteados. Consideramos tanto la utilización del formato clásico, como forma de ordenar los datos:

“Pregunta 1: 400 km\_\_\_\_\_\_\_ 8h 50km/h

Pregunta 2: 400/8 ”

a la utilización correcta y pertinente al problema:

“Pregunta 2:

5h\_\_\_\_\_\_\_\_\_400 km

1h\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_x = 80 km”

y a la utilización incorrecta:

“Pregunta 2:

4h\_\_\_\_\_\_\_\_\_100 km/h

5 h\_\_\_\_\_\_\_\_\_x km/h”

Confirmando las expectativas basadas en nuestra experiencia docente, 27 de los 31 participantes calculan correctamente la velocidad media pedida en la pregunta 1. Sólo dos no contestan, y dos lo hacen mal.

La pregunta 2, dónde se pide explicitar las cuentas que hicieron para responder la primera pregunta, puede ser analizada separando en las siguientes categorías:

- ß Escriben cuentas explícitamente (sin más que números relacionados con signos): 16 alumnos
- ß Escriben un planteo tipo regla de tres: 8 alumnos
- ß Relatan coloquialmente lo que hicieron: 2 alumnos

" 400 km en 8 hs, son 50 km/h, utilicé la lógica"

- ß Escribe una fórmula y la usa:1 alumno

" v = d/t Þ? v = d / ? t Þ ?v = 400 km / 5 h Þ ?v = 80 km /h"

(obsérvese el uso aleatorio del símbolo ?)

- ß Escribe una fórmula sin números: 1 alumno

" df df -- di di /tf tf -- ti ti "

- ß No escribe nada: 1
- ß Respuestas incoherentes: 2

"son 8 horas desde las 3 hasta las 11 y 400 km. 2hs x 1 km son 50 km/h"

En la pregunta 3, al plantear el cálculo de la hora de llegada en un tramo intermedio del mismo viaje, con una velocidad media diferente de la media total, encontramos:

- ß Respuestas totalmente correctas:10
- ß Parcialmente correctas, contestan el tiempo de viaje y no la hora de llegada: 2
- ß Incorrectas, ya que contestan mal el dato pedido: 13
- ß Incorrectas, ya que contestan el tiempo de viaje y mal: 3
- ß No contesta: 2

En la pregunta 4, al pedir la explicitación de las cuentas realizadas para la pregunta anterior, aparecen las siguientes categorías:

- ß Como la cuenta de los kilómetros recorridos da el mismo número que la velocidad promedio dada, escriben una primera cuenta, y luego contestan directamente el tiempo que tardan, o la hora de llegada: 11 alumnos

"2h --------200 km recorridos 5+2=7"

- ß Utilizan el formalismo de la regla de tres para plantear el problema: 7 alumnos.
- ß Escriben las cuentas utilizando únicamente números: 6 alumnos.
- ß Usan una fórmula explícitamente, sea escribiendo todas las letras, o los números ya reemplazados: 3 alumnos (en uno de los casos, aparece el tiempo como la variable a despejar con la letra "x")
- ß No contestan: 4 alumnos.

Las preguntas 5 y 6 fueron planteadas como distractoras, y no serán aquí objeto de nuestro análisis.

Hasta aquí estábamos indagando acerca de lo que los alumnos saben. Como puede verse en el cuestionario (en Anexo) a continuación sigue una etapa de enseñanza de la expresión algebraica de la velocidad media.

Planteamos en la Pregunta 7 un problema de mera sustitución con la "dificultad" que el x0x0 es cero. Las categorías encontradas fueron:

- ß Reemplaza correctamente y llega al resultado pedido: 22 alumnos
- ß Reemplaza con la cuenta t - - t0 t0 ya hecha: 2 alumnos
- ß No reemplaza correctamente los datos: 7 alumnos

Replanteamos la pregunta, en otra ruta y con datos de más en los dos tramos de la Pregunta 8 (a y b).

En la parte a, encontramos:

- ß Respuestas correctas: 25
- ß Respuestas incorrectas: 4
- ß No contestan: 2

En el inciso b, ante un problema un poco más complejo, encontramos:

- ß Respuestas correctas:14
- ß Respuestas incorrectas. 11
- ß No responden: 6

Cabe aclarar que en estos dos últimos casos la categorización de correcto o incorrecto es sólo referida al resultado final sin tomar en consideración cuál es el método elegido para la resolución. En ambas categorías es posible encontrar respuestas que fueron halladas tanto usando la fórmula dada, como usando la fórmula de Vm Vm = e / t o incluso por regla de tres simple.

En la Pregunta 9, 9, en la que se pide un trabajo puramente algebraico con las mismas variables

- ß Despejan correctamente:10
- ß Lo hacen en forma incorrecta: 8
- ß No saben o no contestan:13

## DISCUSIÓN Y COMENTARIOS

Discutiremos en primer lugar los resultados obtenidos en el análisis pregunta por pregunta (las columnas de nuestra matriz). Si bien la experiencia docente nos indica que los alumnos usan la regla de tres en muchas situaciones, nuestros resultados muestran que ese uso está asociado a la representación escrita de los problemas (Pérez y Dibar Ure, 2004). Probablemente la representación escrita del problema remita a los problemas típicos que

tanto han resuelto nuestros alumnos en la escuela, donde el planteo es formalmente usado para ordenar los datos y la cuenta correspondiente entre ellos (sea pertinente o no) es la tantas veces realizada a la manera de la "regla de tres directa". Una forma de representación - problema escrito con tres o más datos y una incógnita a encontrar- parece tener una forma standard de ser resuelto: la regla de tres simple. Un formato eficaz en gran cantidad de casos y en cuya enseñanza no suelen mostrarse sus límites: las funciones crecientes no siempre son lineales y aún las funciones lineales no siempre tienen ordenada al origen igual a cero. Parece tener las características de un proceso modularizado, en el sentido de Karmiloff, como resultado final de la reiteración a lo largo de la enseñanza y de la eficacia demostrada.

En los datos obtenidos es posible encontrar, a lo largo de todos los problemas planteados, respuestas que pueden ser indicio de las diferencias en los niveles de explicitación de las representaciones. En el caso de las respuestas a la segunda pregunta encontramos alumnos que responden en lenguaje coloquial, sin escribir ningún símbolo matemático. Otros describen la cuenta que hicieron mostrando sólo la división

"400/8"

Otros escriben las dos cuentas necesarias

"10 h - - - 2h 400km/8h"

y finalmente dos alumnos usan fórmulas, que seguramente ya saben, y pueden aplicarlas en forma pertinente.

En el caso de la pregunta cuatro, pudimos agrupar algunas respuestas en una categoría especial. Al llegar a una cuenta suficientemente fácil, los alumnos ya no la escriben. No parece necesario escribir una cuenta que da por resultado 1, es quizás más difícil explicitar que se hizo una cuenta cuando se obtuvo un resultado "evidente". Los profesores recordarán en esta instancia las dificultades que tienen los alumnos en graficar una función constante, aún cuando ya dominen el gráfico de funciones lineales.

Los resultados de las preguntas 7 y 8a. muestran que, para los alumnos, el reemplazo de datos en una fórmula es un trabajo que no les presenta dificultades.

En el caso de la resolución del problema 8b. encontramos alumnos que resuelven el problema sin usar la fórmula propuesta, otros que usan la fórmula v = e/t, otros que usan la fórmula propuesta reemplazando los datos y luego despejando la variable pedida y otros que despejan la variable antes de reemplazar los datos. Estos resultados parecen mostrar los diferentes hitos de un camino de menor a mayor en el grado de explicitación de las representaciones disponibles para resolver el problema. Son indicadores de las diferencias en la flexibilidad cognitiva que les permite hallar la respuesta. Cabe destacar que en ese mismo problema, algunos alumnos comienzan a trabajar con la fórmula presentada en el cuestionario, pero cuando no pueden seguir resolviendo, recurren nuevamente a la regla de tres. Este parece ser un indicador de la afirmación teórica que dice que siempre están disponibles las representaciones anteriores. La maestría conductual lograda en ellas, permite "volver a lo seguro" cuando la nueva representación no resuelve el problema.

Aunque ya lo hemos mencionado, vale la pena repetir que para completar el estudio del cuestionario hace falta complementar el estudio problema por problema con el estudio alumno por alumno (las filas de nuestra matriz). Si bien seguir lo que hace un alumno ante el trabajo propuesto es una tendencia natural, ya que nos permite ver cada individuo en su integridad, hemos visto que resulta más dificultoso para sacar conclusiones que el estudio problema por problema. Por esta razón es que resolvimos comenzar discutiendo seis de los 31 casos disponibles.

En una primera mirada es sorprendente observar la variedad y singularidad de los recursos, formas de entender y elección de los procedimientos que muestran los alumnos. El ofrecimiento de representaciones más poderosas, la algebraica en este caso, nos ha

permitido ver como los alumnos van integrando esta herramienta, la combinan con sus formas de resolución y hasta la descartan cuando no les proporciona aún una forma de llegar al resultado.

Tal como planteábamos en la introducción, encontramos ejemplos de cierta independencia entre el dominio del álgebra en situación de resolución de problemas con datos y la capacidad de operar con expresiones algebraicas sin datos. Esto es evidente en el caso del alumno A que puede operar algebraicamente en el problema 8b. y en el ítem 9 responde "no sé cómo hacer".

El caso del alumno D es en cierta medida opuesto, ya que no puede resolver el problema 8 b. ni aún con cuentas, pero despeja la variable x con todo detalle en la fórmula algebraica del ítem 9.

En el análisis de los datos puede observarse en general una relación directa entre el poder explicitar con más detalle las cuentas que hicieron para llegar a un resultado y cuán lejos llegan en la resolución. Sin embargo el alumno B no explicita las operaciones que hace, pero logra mantener en la memoria el problema y lo resuelve siguiendo un camino particular y usando diferentes representaciones.

Los alumnos C, E y F que no consiguen llegar tan lejos en la resolución, se nota un problema en el manejo de las condiciones iniciales. No paparecen encontrarle un claro sentido a x0 x0 y t0t0 , atribuible que no pudieron explicitar las restas de números usadas en los cálculos de velocidad media.

## Algunas consideraciones finales

En nuestros alumnos se observa una tendencia a trabajar preferentemente con números y cuando se les provee de una fórmula algebraica, muestran facilidad para reemplazar las variables. Se observan dificultades para integrar la descripción algebraica y usarla sistemáticamente y para aceptar trabajar con representaciones algebraicas en un problema concreto sin reemplazar completamente por valores. Una dificultad independiente es la de poder operar con expresiones algebraicas.

Estos resultados nos hacen repensar una sugerencia habitual a los alumnos: "no se apresuren a reemplazar en las fórmulas". ¿No será aconsejable postergar esta recomendación para que los alumnos se afiancen en la comprensión de la descripción matemática?

Nuestras expectativas son que la continuación de este trabajo nos dará elementos para describir el tránsito de los números al álgebra, y del concepto intuitivo de velocidad y posición a su descripción como funciones del tiempo.

## REFERENCIAS

DIBAR URE, M.C. (1984) A study of Brazilian University students to a problem in Mechanics. GIREP 84. The many Faces of Teaching and Learning Mechanics

DIBAR URE, M.C. (1995) Comentarios y un ejemplo sobre la dificultad de aprender a usar la matemática en la modelización. En Propuesta Educativa, 12. pp. 45-47

GLASER, B. y STRAUSS, A.L. 1967. The discovery of grounded theory: strtrategies for qualitative research. Chicago: Aldine

HIRSCHFELD, L.A. y GELMAN, S. (Eds.)1994. Mapping the Mind, Domain Specifity in Cognition and Culture. Cambridge, Univ. Press. (Traducción al castellano: Cartografía de la Mente. La especificidad de dominio io en la cognición y en la cultura (dos tomos), Madrid, Gedisa, 2002).

HOPKINS, D.,BOLLINGTON, R. y HEWETT, D.1989. Growing up with qualitative research and evaluation. Evaluation and research in education.3(2) 61 -79

KARMILOFF -SMITH, A.1992. Beyond Modularity. A developmental Perspective on Cognitive Science. Cambridge, Mass; MIT Press. (Traducción al castellano: Más allá de la modularidad. La ciencia cognitiva desde la perspectiva del desarrollo, Madrid, Alianza Editorial, 1994)

PÉREZ, S.M. y DIBAR URE, M.C. 2004. El lenguaje matemático en cinemática elemental: una mirada desde el cambio representacional. Memorias del VII SIEF. Santa Rosa, La Pampa. Argentina.

## ANEXO

(los espacios para contestar cada pregunta fueron eliminados)

## Cuestionario

- 1. -Supongamos que planeaste un viaje a Mar del Plata en auto. Salís de Buenos Aires en un auto a las 2 de la tarde y a las 10 de la noche llegás a Mar del Plata (que está a 400 kilómetros de Buenos Aires).¿Cuál fue la velocidad promedio en ese recorrido?
- 2. -¿Podrías escribir qué cuenta hiciste?
- 3. -Durante ese viaje, comés una hamburguesa en Atalaya que está a 100 km de Buenos Aires y luego salís nuevamente a las 6 de la tarde. La velocidad promedio del auto desde Atalaya hasta llegar a Dolores (que está a 200 km de Buenos Aires) es de 100km/h. ¿A qué hora llegaste a Dolores?
- 4. -¿Podrías escribir qué cuenta hiciste?
- 5. -En Dolores después de cargar nafta y tomar un café, y decidís salir de nuevo a la ruta. Si recorrés los 200 km que te faltan hasta Mar del Plata en dos horas ¿Cuál fue la velocidad promedio del auto entre Dolores y Mar del Plata?
- 6. -En ese tramo la velocidad máxima es de 120 km/h. Un policía te para y te hace una multa por exceso de velocidad. ¿Puede tener razón, o estás seguro que está equivocado? ¿Por r qué?

Hasta ahora trabajamos escribiendo sólo números.

Te propongo una manera de escribir lo que hiciste hasta ahora, a ver si se puede usar esa forma para poder contestar otras preguntas o resolver más problemas.

Vimos que la velocidad media es igual a la distancia recorrida dividida el tiempo empleado en recorrer esa distancia. Escrita en lenguaje matemático, esto es:

<!-- formula-not-decoded -->

Veamos qué es cada cosa. Cada letra representa algo que medimos o que queremos saber. Como en las ecuaciones, en las que tenés que averiguar el valor de una letra, aquí puede ser que sepas cuanto vale cada letra, o no.

Fijate que la cuenta x - - - x0 representa la distancia recorrida.

Fijate que la cuenta t - - - t0 representa el tiempo que tardás en recorrer esa distancia

Vm Vmedia a : es la velocidad media, de un auto por ejemplo, en un tramo de su recorrido.

x0 : representa la posición de donde saliste en ese tramo (por ejemplo si vas de Chascomús a Dolores, x0 es 100 km porque Chascomús está en el kilómetro 100 de la ruta)

- x : representa la posición final de ese tramo (por ejemplo en Dolores x es 200 km porque Dolores está en el kilómetro 200 de la ruta)

t 0 : representa la hora en que comenzás a recorrer el tramo elegido.

t: representa la hora en que llegás a la posición final de ese tramo.

- 7. -Volvamos a la pregunta 1.

Tratá de llegar al mismo resultado usando la fórmula que acabamos de presentar.

Para eso, completá los siguientes datos:

<!-- formula-not-decoded -->

Ahora, podés reemplazar en la fórmula y saber si te da el mismo resultado que antes

<!-- formula-not-decoded -->

- 8. -Ahora pensemos en un viaje en auto de Buenos Aires a Córdoba (780 km). Durante el recorrido parás en una estación de servicio que está en el kilómetro 220 de la ruta. Volvés a la ruta a las 10 de la mañana y llegás a un restaurante que está en el kilómetro 380 de la ruta justo a las 12 del mediodía. ¿Cuál fue la velocidad media en ese tramo? Por favor, usá la fórmula para responder escribiendo lo más posible del procedimiento que uses.

<!-- formula-not-decoded -->

Si seguís a esa velocidad media ¿a qué hora llegás a Córdoba?

9. -Una última cuestión: de la misma fórmula tratá de despejar la variable X X, escribiendo todos los pasos intermedios que necesites.

<!-- formula-not-decoded -->