Oscilações Não Lineares e o Oscilador x$^3$ Amortecido

## OSCILAÇÕES NÃO LINEARES E O OSCILADOR X³ AMORTECIDO

a

A.J. Santiago [ajsant@uerj.br] H. Rodrigues [harg@cefetrj.br] b

- a IF-Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro-RJ 20559-900, Brasil

b Centro Federal de Educação Tecnológica, Rio de Janeiro-RJ 20271-110, Brasil

## RESUMO

Discutimos um método bastante simples de se introduzir o estudo do oscilador x³ amortecido, tanto teórica como experimentalmente, em cursos elementares de física. Dados experimentais do deslocamento de um oscilador x³ em função do tempo, obtidos em medidas de ultrasom, são bem reproduzidos quando forças dissipativas são levadas em conta através de um único parâmetro.

## 1. INTRODUÇÃO

O estudo de movimentos anarmônicos é de grande interesse para física. Em física da matéria condensada, o movimento vibracional de cada átomo em um cristal, em torno de um ponto de equilíbrio estável, pode ser descrito em termos de um movimento dentro do campo gerado por um potencial do tipo U = cx² α x³ β x (não-harmônico) [1]. Já em física nuclear, o modo de 4 respiração do movimento coletivo nuclear se mostra fortemente anarmônico, principalmente para núcleos leves [2]. Além disto, osciladores anarmônicos são excelentes laboratórios para o estudo de caos determinístico [3].

Apesar de toda esta aplicabilidade, movimentos anarmônicos dificilmente acham-se discutidos em livros textos usuais de física, quer sejam eles de nível básico [4], quer sejam de nível intermediário [5] ou mesmo mais avançados [6,7]. De fato, das referências citadas, apenas Landau e Lifchitz [7] dedicaram um capítulo para o estudo de oscilações anarmônicas. O livro deles, contudo, aborda o problema no contexto da formulação de Lagrange, formalismo este que não é apresentado em cursos de física básica [4]. Na verdade, esta falta de material didático a um nível mais elementar, sobre o problema das oscilações não-lineares, foi a principal motivação para este trabalho. Para ser mais especifico, nosso objetivo neste trabalho é duplo. Primeiro, apresentar uma maneira bastante simples de se introduzir o oscilador x³ amortecido em cursos elementares de física e segundo, reproduzir consistentemente os dados experimentais reportados por Cromer [8]. De fato, como veremos a seguir, Cromer construiu um dispositivo que permite ilustrar de uma maneira simples e bonita o oscilador x³. Contudo, ao comparar seu modelo com os dados experimentais obtidos com medidas de ultrasom, um grande desvio entre teoria e experimento pode ser observado. Não obstante, o valor ilustrativo do aparato de Cromer, é inegável que, do ponto de vista didático, é extremamente frustrante para o aluno realizar o experimento e encontrar um desvio muito grande entre teoria e a medida experimental. N este caso, é natural que desconfianças em relação 'a teoria e/ou ao experimento surjam no aluno. É verdade que poderíamos explorar apenas o caráter qualitativo do experimento. Entretanto, mesmo assim, outras dificuldades inerentes à análise de experimentos qualitativos podem surgir [9]. Nesse sentido, experimentos que permitam ao aluno testar a teoria que lhe foi ensinada, podem melhor predispô-lo 'a compromissos epistemológicos tais como a coerência e a procura de generalizações. Este trabalho está organizado da seguinte maneira. Na Seção II, discutimos uma maneira bastante simples de se introduzir o problema do oscilador x³ amortecido, tanto teórica como experimentalmente, em cursos mais elementares de física. Na Seção III, finalizamos com os resultados e as discussões.

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## 2. CONSTRUINDO UM OSCILADOR X³

Podemos construir um oscilador x³ prendendo um planador sobre um trilho de ar 'a uma mola como ilustra a Fig. 1(a). A distância L entre o suporte da mola e o planador deve ser exatamente igual ao comprimento L 0 da mola quando sujeita apenas a tração de seu próprio peso. Isto é, o trilho de ar deve ser ajustado de maneira a compensar o peso do planador. Quando o planador é deslocado de sua posição de equilíbrio de uma distância x (Fig.1(b)), o comprimento da mola aumentará de (L0²+x²)½ - L0 , tal que a força restauradora F da mola será

F = - k L

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Fig.1: O Dispositivo de Cromer com o planador na posição de equilíbrio (a) e deslocado horizontalmente (b).

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Para pequenos valores do deslocamento x, em que x &lt;&lt; L0, vemos que

[1 + (x/L 0)²]½ ≈

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logo

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A componente da força da mola na direção x será Fx = Fcos θ , com cos θ = x /(L0²+x²) ≈ x/L0 e, portanto,

Fx = -

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A Eq.4 diz que dentro da aproximação considerada o planador é um oscilador x³. Aproximações como as que adotamos acima, são comumente usadas para o movimento pendular, i.é., na mesma aproximação que um movimento pendular é harmônico simples o planador é um oscilador x³. Este simples exemplo pode ser introduzido em cursos de física elementar.

Dispositivos como o descrito acima têm sido sugerido por Cromer [8] no estudo do período do oscilador x³. Em particular, na Ref.8, dados experimentais do deslocamento em função do tempo de um oscilador x³, que foram obtidos através de medidas com um sistema de ultrasom [11], foram reportados. O modelo teórico de Cromer para o oscilador x³, todavia, não pode fornecer uma boa descrição dos dados experimentais que, nitidamente, diminuíam de amplitude em função do tempo. Na realidade, todo movimento macroscópico é amortecido e uma comparação realística com dados experimentais deve, necessariamente, levar em conta este efeito. Não é difícil de imaginar que o amortecimento é produzido pelo atrito do meio em que o corpo se desloca. O atrito sendo uma força dissipativa, fará com que a energia do corpo em movimento transforme-se em calor, i.e., dissipe-se. Nestas condições, o processo de movimento já não é puramente mecânico, e uma análise rigorosa requer que se leve em conta o movimento do próprio meio e do estado térmico interno do sistema (corpo + meio). Existem alguns casos, entretanto, em que o movimento num meio dissipativo pode ser descrito, aproximadamente, através das equações mecânicas de movimento. Nestes casos, em geral, podemos considerar q ue sobre o corpo atua uma força de atrito dependente de sua velocidade. Se, além disto, a velocidade é suficientemente pequena, podemos desenvolver a força de atrito em uma série de potências. Como o termo de ordem zero do desenvolvimento será nulo (sobre um corpo parado não atua força de atrito), o primeiro termo não nulo será proporcional e de sentido comtrário à velocidade, i.é., chamando de b o coeficiente de proporcionalidade temos, Fa = - b dx/dt.

Assim, a equação de movimento para o planador, levando-se em conta o amortecimento, é:

Fx = -

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Na Eq.5, b depende de vários fatores tais como o meio, a forma do corpo, etc. Neste trabalho, consideraremos b um parâmetro que será ajustado aos dados experimentais. Naturalmente, com b=0, Eq.5 se reduz 'a Eq.4. A equação de movimento do oscilador x³. amortecido (Eq. 5) pode ser reescrita como :

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e, então, separada em duas equações diferenciais de primeira ordem. As equações assim obtidas, podem ser facilmente integradas em um intervalo de tempo ∆ t. Assim, obtemos

x(t+

v(t+

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Este m étodo de integração, por sua simplicidade e por fornecer resultados com boas aproximações, tem sido fartamente usado na literatura [12]. De fato, as Eqs.7 e 8 fornecem bons resultados para o problema desde que ∆ t seja escolhido suficientemente pequeno quando comparado com o período do oscilador x³ em questão. Obviamente, o m étodo de aproximações sucessivas para a solução de equações diferenciais poderia ser empregado neste caso. Todavia, em geral, nos cursos introdutórios de física, embora o aluno muito provavelmente já tenha visto cálculo numérico e, então, tenha noções de Fortran, Pascal, Basic, etc..., ainda não está familiarizado com métodos da física matemática. Assim, apresentar um método numérico simples parece-nos mais interessante. Nada impede todavia, que em cursos mais avançados, o método algébrico seja também realizado e comparado com o método numérico. Neste trabalho L0=0,12m, k=70N/m e m=0,439Kg.

## 3. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para evoluir dinâmicamente o sistema, as Eqs.7 e 8 são resolvidas iterativamente com ∆ t = 0.01s durante 10s. Nós checamos que os resultados ficam praticamente inalterados se ∆ t ≤ 0.05s. Na Fig.2, s ão apresentados a posição x (Fig.2(a)) e a velocidade v (Fig.2(b)) do oscilador x³ como uma função do tempo, para vários valores do parâmetro b. A linha s ólida corresponde a b=0, enquanto que +, triângulos cheios, triângulos vazios e quadrados vazios correspondem a b=0.01, 0.1, 0.5, e 1, respectivamente. Na Fig.2(a) somente os resultados para b=0 (linha sólida) e b=0.1 (triângulos cheios) são apresentados. Observa-se que o amortecimento provoca diferentes mudanças nas curvas. Primeiro altera o valor da amplitude de oscilação em função do tempo e, segundo, modifica o período de oscilação. Em particular, quanto maior o b, maior é o período de oscilação e menor a amplitude de oscilação em função do tempo (resultado similar é observado em v × t). Este resultado

Fig.2: x (a) e v (b) versus t para vários valores de b .

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pode ser facilmente entendido uma vez que o amortecimento é uma força dissipativa e, portanto, consome a energia do sistema a qual é proporcional a amplitude. Um decréscimo na amplitude provoca aumento no período pois este é inversavemente proporcional 'a amplitude. Na Fig.3, nosso

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melhor ajuste (linha s ólida) para os dados experimentais da Ref.8 (triângulos) s ão apresentados. Por completeza, os resultados de Cromer (linha tracejada), sem levar em conta o amortecimento ( b = 0), são também mostrados. Podemos observar que, enquanto os resultados para b=0 se desviam cada vez mais dos resultados experimentais para t crescente, a inclusão do efeito de amortecimento permite uma boa reprodução dos dados experimentais. A pequena diferença residual entre os valores teóricos e experimentais pode ser diminuída ainda mais se termos de ordem superior forem mantidos nas expansões utilizadas. o oscilador x³.

Em suma, apresentamos um método bastante simples para estudar o oscilador x³ amortecido. A discussão apresentada é simples o bastante para permitir a inclusão do estudo de osciladores anarmônicos tanto teórica quanto experimentalmente, em cursos técnicos (física, engenharia, matemática...) mais elementares, onde por exemplo, livros textos no n ível de Halliday e Resnick [4] forem adotados. Especial ênfase foi dada ao efeito de forças dissipativas em medidas experimentais. Em particular, mostramos que para um certo valor do parâmetro de amortecimento (b=0.1), os dados experimentais ficam muito bem reproduzidos.

## REFERÊNCIAS:

- [1] C. Kittel, Introdução 'a Física do Estado Sólido, 5a. edição, Cap. 5, Ed. Guanabara Dois, (1978).
- [2] J.P. Blazot, J.F. Berger, J. Dechargé e M.Girod, Nucl.Phys. A591, 435 (1995).
- C.S. Wang, K.C. Chung e A.J. Santiago, Phys. Rev. C55, 2844 (1997).
- [3] M.A.M. de Aguiar, Rev. Bras. Ens. Fis. 16, 3 (1994).
- [4] H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica, Vol.2, Ed. Edgard Blucher Ltda., (1981).
- D. Halliday e R. Resnick, Fundamentos de Física, Vol.2, 3a. ed., Ed. Livros T éc. e Científicos . Editora S.A., (1994).
- [5] K.R. Symon, Mecânica, 5a. edição, Ed. Campus Ltda., (1982)
- [6] H. Goldstein, Classical Mechanics, 2a. edição, Ed.Addison-Wesley Publ. Company, (1981).
- [7] L. Landau e E. Lifchitz, Mécanique, Vol. I, Ed. 'Editions de la Paix, (1978).
- [8] A. Cromer, The Phys. Teacher, 30, 249 (1992).
- [9] A. Villani e L. Orquiza de Carvalho, Rev. Bras. Ens. Fis. 16, 98 (1994).
- [10] E. Butkov, Física Matemática, Ed. Guanabara Dois S.A., (1983).
- [11] R. Gatland, Computers in Physics, 5, 541 (1991).
- [12] J.P. Bondorf, R. Donangelo e K. Sneppen, Phys. Lett. B214, 321 (1988).
- A.J. Santiago e K.C. Chung, Il. Nuov. Cim. A105, 1729 (1992).