INTRODUZINDO O CONCEITO DE CAOS NO ENSINO DE FÍSICA

## INTRODUZINDO O CONCEITO DE CAOS NO ENSINO DE FÍSICA

Germano A. Monerat (monerat@fat.uerj.br), Eduardo V. C. Silva (edvasquez@olimpo.com.br), a a Andrés R. R. Papa a,b (papa@on.br) , Gil Fernandes da Cunha Brito e Aline G. Cyrino a a

a Depto. Mat. e Comp.,UERJ,Estr. Resende-Riachuelo s/n,Morada da Colina, 27523-000 RJ, Resende b Observatório Nacional, Rua Gen. José Cristino 77, São Cristóvão, 20921-400 RJ, Rio de Janeiro

## RESUMO

Neste trabalho se propõe a introdução em cursos de graduação em Física de tópicos sobre caos (matéria normalmente deixada para cursos de pós-graduação). Se descreve em certo detalhe (aquele que o comprimento máximo dos trabalhos para o SNEF permite) a forma de fazer isto com um dos sistemas mais simples que podem levar a esse conceito: o pêndulo duplo. A apresentação se faz supondo que o aluno cursou uma disciplina de Mecânica Analítica o qual faz que a introdução seja possível como um tópico ao final da própria disciplina ou como parte de uma possível disciplina sobre 'Tópicos Avançados'. Outros possíveis estudos serão apresentados em futuras edições do SNEF.

## PALAVRAS-CHAVE

Caos, Ensino de Física, Graduação

## 1. INTRODUÇÃO

O número de fenômenos e métodos de estudo destes abordados durante os cursos usuais de graduação em Física é grande. Entre os que normalmente não são incluídos está o conceito de caos [1]. Uma boa parte dos sistemas físicos é representada por sistemas de equações diferenciais os quais, muitas vezes, não são integráveis. Dentro da classe de sistemas não-integráveis encontram-se aqueles que apresentam no seu comportamento uma forte sensibilidade à mudança nas condições iniciais, isto é, dependendo das condições iniciais o estado 'final' poderá ser muito variado. Estes são conhecidos como sistemas caóticos. Para os sistemas ditos caóticos, o uso das técnicas de sistemas dinâmicos [2], na descrição do comportamento regular e/ou caótico desses sistemas tem se mostrado de grande importância. Neste trabalho, como exemplo de aplicação de algumas das técnicas de sistemas dinâmicos, escolhemos o pêndulo duplo, devido a que este é um dos sistemas mais simples em que esse tipo de comportamento se apresenta. Devido à grande importância dada em Física aos chamados sistemas hamiltonianos, modelamos aqui esse sistema através de uma hamiltoniana de dois graus de liberdade, onde observamos a existência de quatro pontos fixos (soluções estacionárias) no espaço de fase do modelo. A natureza de cada um destes pontos fixos é determinada como, um puro-centro, duas centro-sela e uma pura sela, e soluções analíticas são obtidas para a vizinhança linear de cada um destes pontos. Uma discussão sobre a estrutura das curvas do espaço de fase (soluções) na vizinhança linear de cada ponto fixo é apresentada de forma bem resumida.

## 2. O MÉTODO

A dinâmica do sistema mostrado na Figura 1 (pêndulo duplo) pode ser representada por uma hamiltoniana com dois graus de liberdade (onde g é a aceleração da gravidade e ( p , p 1 2 ) são os momentos canonicamente conjugados às variáveis angulares ( θ 1 , θ 2 ), respectivamente):

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As equações de movimento são dadas pelas equações de Hamilton [3], formando neste caso um sistema de equações não-integrável [4].

Figura 1. Pêndulo Duplo.

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Iremos procurar os pontos fixos no espaço de fase, os quais irão corresponder a soluções estacionárias. A importância de tais pontos está no fato destes organizarem a estrutura das curvas no espaço de fase. Em outras palavras, definem o tipo de solução do sistema numa vizinhança linear (numa pequena vizinhança de cada ponto fixo). O sistema composto pelas equações de Hamilton correspondentes à Hamiltoniana na Equação (1) exibe quatro pontos fixos (isto é, as derivadas temporais igualadas a zero) de coordenadas:

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onde as matrizes linhas são ordenadas do topo para baixo de acordo com as coordenadas θ 1 , p 1 , θ 2 e p 2 , respectivamente. A energia total associada a cada ponto fixo é:

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Após a linearização, o sistema formado pelas equações de Hamilton, fica na forma

.

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onde i =1,2,3,4 indicam os pontos fixos. O vetor Xi tem em geral a forma Xi = ( θ 1 , p 1 , θ 2 , p 2 ), e as matrizes Ji , denominadas matrizes Jacobianas, são:

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A solução geral do sistema linearizado em torno de um dado ponto fixo é a superposição de quatro soluções independentes:

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onde ( ) i m A são os autovetores associados aos autovalores λ da matriz jacobiana, e os coeficientes ( ) i m c são constantes de integração que vão depender das condições iniciais. Os autovalores associados à matriz jacobiana são, respectivamente (onde l g = 0 ω é a freqüência de oscilação natural do pêndulo simples para pequenas amplitudes) :

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## 3. DISCUSSÕES E RESULTADOS

De acordo com os resultados mostrados na Equação (7), podemos classificar segundo a literatura tais pontos: P é um puro-centro; P e P são centros-selas e P é um pura sela. 1 2 3 4

O ponto fixo puro-centro, descreve movimentos puramente rotacionais; dizemos então que o movimento encontra-se sobre toros (veja figura 2a). Quando nos afastamos da vizinhança linear do puro centro, devido a não integrabilidade, estes toros vão sendo distorcidos e dependendo das condições iniciais escolhidas podem ser destruídos. A destruição destes toros está relacionada a existência de um comportamento caótico do sistema. Já o ponto fixo centro-sela, o movimento geral (na vizinhança linear deste) é descrito pelo produto direto de hipérboles por órbitas periódicas instáveis; resultando numa estrutura de cilindros [5] no espaço de fase (veja figura 3). O comportamento caótico aqui pode ser evidenciado também a medida que nos afastamos da vizinhança linear do centro-sela, estes cilindros vão se distorcendo até serem destruídos. Já o movimento geral na vizinhança linear do pura sela é descrito por produto de hipérboles existentes nos planos (p , 1 θ1 ) e (p 2 , θ2 ) (veja figura 2b).

Figura 2. (a) Representação das órbitas periódicas instáveis projetadas num dado plano (p, θ) do espaço de fase; enquanto que em (b) vemos a representação das órbitas hiperbólicas projetadas num dado plano do espaço de fase.

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Figura 3. Representação esquemática da estrutura de cilindros formados no espaço de fase na vizinhança do centro-sela. Resultado do produto direto das órbitas periódicas instáveis (figura 2a) com as órbitas hiperbólicas mostradas na figura 2b.

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## 4. CONCLUSÃO

Foi apresentada uma proposta de introdução do conceito 'caos' e de toda a nomenclatura que o acompanha nos cursos de graduação em Física. Isto foi feito, utilizando terminologia e matemática, típicas de alunos que seguiram disciplinas de Mecânica Analítica e Equações Diferenciais, mostrando que a proposta é possível. Outros momentos plausíveis de serem utilizados para a apresentação do tema são o curso de Equações Diferenciais Ordinárias ou, ainda, o curso de Mecânica Básica (Física I na nomenclatura da maioria dos cursos de Física). Mas esta última opção, apesar de ser a melhor (no sentido de que apresenta o conceito o mais cedo possível), precisa de um tratamento especial (mais fenomenológico). Os autores se encontram desenvolvendo este tipo de enfoque e deverá ser apresentado em uma futura edição do SNEF.

## 5. REFERÊNCIAS

- [1] de Almeida, A. M. O., Sistemas Hamiltonianos, Caos e Quantização, 2 da Edição, Editora da Unicamp, Campinas, 1991.
- [2] Monteiro, L. H. A., Sistemas Dinâmicos, Editora Livraria da Física, 2002.
- [3] Landau, L e E. Lifschitz, Mecânica, MIR, Moscou, 1980.
- [4] Lemos, N. A., Mecânica Analítica, Editora Livraria da Física, 2004.
- [5] Monerat, G. A., H. P. de Oliveira and I. D. Soares, Phys. Rev. D 58, (1998).