Estudando os estados magnéticos no ensino médio

## 01\_Estudando os estados magnéticos no ensino médio

- 02\_Isaias G. de Oliveira [03\_e-mail (isaias@olimpo.com.br)] a

02\_Alexandre L. de Oliveira [03\_e-mail (alekos@cbpf.br )] a 02\_ Jorge. B. B. do Nascimento a [03\_e-mail ()] 02\_ João. G. S. da Paz Cruz [03\_e-mail ()] a 02\_ Daniel. E. A. Oliveira a [03\_e-mail ()]

a 04\_Instituição\_autores (Escola Técnica Estadual República - Fundação de Apoio a Escola Técnica - FAETEC)

## 05\_Resumo

Neste trabalho apresentamos um resumo de nossas atividades de pré-iniciação científica. Estudantes do ensino médio constroem e desenvolvem programas computacionais capazes de resolver equações de estados magnéticos. Estas equações são, em geral, equações auto-consistentes e não lineares. Modelamos um sistema magnético, na aproximação de campo médio, e spin ½. A partir destes programas foi possível estudar a curva da magnetização em função da temperatura, assim como a curva de magnetização em função do campo magnético aplicado. Estudamos a convergência de nosso método numérico. Neste trabalho, curvas de magnetização para diferentes números de interações no processo numérico são apresentadas. Observamos que para encontrarmos uma solução física é necessário um certo valor de interações, e isso requer um certo tempo de computação.

## 06\_ Introdução

09\_ Nosso projeto de pré-iniciação científica aborda o mecanismo que regulam os refrigeradores magnéticos, isto é, o efeito magneto-calórico [1]. Abordamos de forma que estudantes do ensino médio possam entender todas as etapas do processo. E aqueles que possuam maior afinidade à descoberta científica possam se deliciar com programação numérica. Este trabalho resulta da pré-iniciação científica dos três últimos autores. Os conceitos físicos para o entendimento do trabalho, os estudantes adquirem ao cursar o segundo ano do ensino médio. São os conceitos adquiridos no curso de termologia. Uma vez que o estudante já tenha sido apresentado às leis da termodinâmica (lei zero = equilíbrio térmico; primeira lei = conservação da energia; terceira lei = entropia) podemos trabalhar a concepção de um sólido. Onde este é apresentado como uma rede regular de átomos espalhados por um determinado volume. A cada um destes átomos é atrib uída uma grandeza chamada spin. Para uma melhor visão do mundo microscópico sugerimos que o estudante imagine o spin como um pequeno vetor associado às propriedades magnéticas do átomo. Com esta visão podemos imaginar a entropia do sistema. Um sólido isolado terá um ordenamento aleatório de spins, e portanto uma desorganização alta. Podemos disser que sua entropia será grande. Ao passo que um campo magnético externo sendo aplicado, este induzirá a direção dos spins que energeticamente preferirão apontar p ara a direção do campo aplicado. Este novo arranjo de spins diminui a entropia do sistema. Para compensar esta diminuição da entropia há um aumento da agitação térmica de cada átomo, ocorrendo assim um aquecimento no sistema. Anterior ao estudo do efeito m agneto-calórico devemos estudar as equações de estados magnéticos. As equações de estado magnético são, em geral, equações não lineares e auto-consistentes. A parte principal deste trabalho é o desenvolvimento de um programa computacional que resolve uma equação de estado magnético. Nesta etapa os estudantes estão fazendo uma redescoberta orientada. Usado um método científico, buscam soluções para o problema. Este trabalho se divide nas seguintes etapas. Método : nesta seção escolhemos um sistema magnético p ara fazermos nossa aplicação, e discutiremos nosso programa. Resultado : nesta seção apresentados gráficos da magnetização em função da temperatura para soluções com diferentes números de interações. Conclusão : fazemos nossa crítica ao processo e apontamos futuros passos.

09\_ Estudamos um sistema ferromagnético. Nestes sistemas há um alinhamento dos spins em uma certa direção resultando em uma magnetização espontânea mesmo para um campo externo nulo. A temperatura contribui para desorganizar este alinhamento. O aumento da temperatura faz diminuir o valor da magnetização até chegar a uma certa temperatura T onde a ordem magnética é totalmente destruída e a C magnetização é nula. Nesta temperatura o material se torna paramagnético. A interação responsável pelo alinhamento dos spins neste material é chamada de interação de troca. Podemos imaginar esta interação sendo

equivalente a um campo magnético M B E λ = , proporcional a magnetização M , e λ é conhecida como constante de troca e não depende da temperatura. A magnetização é definida como o momento magnético por volume. A equação de estado magnético de um sistema ferromagnético de spin 1/2 pode ser escrita por [2]

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onde B µ é o magnéton de Bohr ( ≅ 0.0578 meV/T) , k é a constante de Boltzmann ( ≅ 0.086 meV/K ), N é o número de íons e T a temperatura (em K). Nestas unidades a troca λ é dada em T /meV. O estudo das 2 equações de estado magnético por parte do estudante do ensino médio requer alguns conceitos matemáticos que ainda não os fora apresentado. Nesta etapa sugerimos que os estudantes pesquisem as funções hiperbólicas: seno, co-seno e tangente [3]. A equação (1) é auto-consistente, isto é, a magnetização é função da própria magnetização. Para resolver esta equação desenvolvemos um programa computacional em linguagem MatLab[4]. Nesta etapa o estudante se depara com alguns desafios de computação numérica. Descreveremos aqui passo a passo este programa. Iniciamos por definir o limite superior e inferior do intervalo de temperatura, TMIN e TMAX. Dividimos este intervalo por um número inteiro NT, obtendo DT pequenos intervalos de temp eratura. Neste programa encontramos dois laços, o primeiro, mais externo, determina as temperaturas. O outro laço controla o número de vezes que irá ser efetuado o processo de autoconsistência. Esta solução está sendo realizada para um parâmetro de troca λ , e para um campo magnético externo fixo H. Os comandos t00=clock (linha 4) e t=etime(clock,t00),break (linha 22) nos permite analisar o tempo de computação gasto. O método de solução pode ser descrito do seguinte modo. Escolhemos um valor inicial para a magnetização, neste caso M0=3. Para a primeira temperatura, isto é TMIN, entramos para o 2 laço. É atribuído o valor M0=3 na equação M(it)=tanh(M0/T) (linha 11) e assim o temos o primeiro valor M(TMIN). Este valor é reconduzido à equação (linha 11) e assim temos o 2 valor de o M(TMIN). Após, neste caso, 5 interações este valor é considerado satisfatório e o programa passa para a próxima temperatura. O comando plot(TTn, Mn,'*b') (linha 16) constrói o gráfico da magnetização versus a temperatura. Os comandos seguintes são de acabamento do gráfico.

```
TMIN=0.01; TMAX=2; NT=50; t00=clock; DK=1.0; DT=(TMAX-TMIN)/NT; H=0.0001; lan=1.0; M0=3; for it=1:NT+1 T=TMIN+(it-1)*DT; for ib=1:5 %convergencia M(it)=tanh((lan*M0+H)/T); M=M(it); M0=M; Mn(it)=M; TTn(it)=T; plot(TTn,Mn,'*b'); end xlabel('T') ylabel('Magnetizaçªo') title('Campo mØdio'); end t=etime(clock,t00), break;
```

## 06\_ Resultados

09\_ Usamos neste trabalho um computador AMD Atlhon, com 256 MB RAM e 71% de espaço livre do sis tema. O tempo de execução do programa varia com o número de interações. Para um número de convergência, nc = 5, o tempo de execução t = 1,98 s, enquanto para um número de convergência nc = 50, o tempo de execução é t = 17,8 s. Existe um aumento no tempo de computação muito grande, porém há um ganho na física do problema. Um baixo número de interações pode permitir que a convergência não tenha alcançado a solução do problema. Na figura 1 apresentamos a curva de magnetização versus a temperatura. Nesta simulação usamos nc = 5. A magnetização e a temperatura estão em unidades reduzidas (M/M S e T/T C, onde MS é a magnetização espontânea e TC é a temperatura crítica). O campo magnético aplicado é muito baixo, H = 10 -3 T. Este valor não permite que a magnetização ultrapasse em mais de 20% em torno da temperatura crítica. Estes valores encontrados não correspondem a física do problema e são conseqüência do baixo número nc. Para a simulação com nc = 50 esta curva mostra uma magnetização quase nula para temperaturas acima de T=1. Na figura 2 mostramos o comportamento da magnetização em função do campo magnético aplicado. Nesta simulação o numero de convergência nc = 10 e o tempo de computação é t = 3.68 s. Para este comportamento o calculo apresenta maior necessidade de interações para baixas temperaturas. Simulações com nc baixo apresentam uma magnetização diferente de zero quando o campo aplicado é nulo. Este problema é resolvido aumentando nc.

## 06\_ Conclusão

- 09\_ Desenvolvemos um programa Matlab para solucionar equações de estados magnéticos. Estas equações apresentam, em geral, auto-consistência. Estudamos um sistema ferromagnético de spin ½, sendo sua equação de estado dado por uma tangente hiperbólica. Analisamos o problema da convergência e o tempo de computação. Pudemos observar que nossos resultados são sensíveis ao número de interações, e portanto devemos ter melhor controle sobre isto. Uma nova etapa da construção deste programa é fazer com que o número de interações seja dado pela necessidade de cada ponto. Para isso introduziremos um condicional, onde este irá verificar se o valor encontrado da magnetização já se encontra dentro de uma certa precisão previamente estabelecida.

Este trabalho faz parte do projeto de pré-iniciação científica realizado na Escola Técnica Estadual República - FAETEC. O desenvolvimento deste trabalho mostra que há entusiasmo nos estudantes do ensino médio para o estudo de tópicos avançados em física.

J. B. B. do Nascimento, J. G. S. da Paz Cruz e D. E. A. Oliveira são bolsistas do programa de apoio a bolsa de pré-iniciação científica - Jovens Talentos da FAPERJ - FAETEC.

- 15\_Referências
- [1] - P. J. von Ranke, Ciência Hoje, vol. 26, n o 155, págs. 34 - 40.
- [2] - C. Kittel, Introdução à Física do estado Sólido (1978) Rio de Janeiro, Ed. Guanabara Dois.
- [3] - N. Piskunov, Calculo Diferencial e Integral (1983) Moscou, Ed. MIR.
- [4] - D. Hanselman e B. Littlefield, MATLAB5 Versão do Estudante (1999), São Paulo, Ed. Makron Books.

13\_ figura 1 Magnetização versus temperatura.

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13\_ figura 2 Magnetização versus campo magnético.

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