Medida da Aceleração da Gravidade

## MEDIDA DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

Armando Mendonça Maroja [armando@ucb.br]

Manoel Francisco Coelho Viturino [fisica\_on\_line@uol.com.br] Jefferson de Sousa Pereira [czarthomas@bol.com.br] Laboratório de Física -Universidade Católica de Brasília UCB Q.S. 07 - Lote 01 - EPCT - Águas Claras - 71996-700 - Taguatinga, DF, Brasil

## RESUMO

A determinação da aceleração da gravidade local utilizando-se o experimento queda livre é comum tanto no ensino médio como no superior. Testamos montagens experimentais com aparelhagens dos fabricantes Leybold ® , Pasco ® e Azeheb . Os ® resultados obtidos, apesar de se encontrarem dentro da margem de erro experimental, mostraram-se bem diferentes. Então a primeira pergunta seria, qual o valor da aceleração da gravidade no local do experimento? Pesquisando a literatura observamos uma grande variedade de respostas, informando muitas vezes que os fatores determinantes seriam altitude e a latitude do local do experimento e em outros apenas g = 9,8m/s 2 . A mecânica clássica mostra que na determinação precisa da aceleração da gravidade devem ser considerados o movimento de rotação da Terra, sua forma geométrica de geóide (achatamento nos pólos) e a altitude. O uso prático da medida de g ocorre na geologia onde a gravimetria é uma das técnicas correntes na prospecção mineral. Assim discutimos ao longo deste artigo os fatores que determinam o valor de g bem como mostramos qual a montagem experimental que conduz a um valor de g mais preciso.

## INTRODUÇÃO

Os professores de física apresentam para seus a lunos nas aulas de mecânica que o valor da aceleração da gravidade na Terra é g = 9,8 m/s 2 , valor dominante nos livros didáticos de Física. No entanto, o professor geralmente não destaca a origem deste valor, explicitando se foi obtido por cálculos teóricos ou mediante experimentos. Será este valor válido apenas ao nível do mar no equador? Por outro lado, visando melhorar o aprendizado dos alunos do ensino médio, alguns professores fazem uso de aulas experimentais para a determinação do valor de g . Os principais objetivos deste trabalho são cobrir uma análise teórica e experimental do cálculo da aceleração da gravidade, demarcando primeiro o valor de g determinado a partir da mecânica clássica e informando os princípios da técnica gravimetria utilizada na prospecção mineral. Em seguida apresentamos resultados de coleta de informações sobre o valor de g em livros do ensino médio e superior. Por fim realizamos a medida de g através de vários métodos experimentais em um laboratório didático de ensino de física, comparando os valores medidos com os previstos pela mecânica clássica, indicando assim o procedimento experimental mais adequado.

## TEORIA

A fim de estimar o valor de g com maior precisão devemos nos reportar a mecânica clássica e levar em consideração que a Terra é um referencial não inercial (acelerado) devido ao movimento de rotação. Também temos de levar em conta fatores estáticos, sua forma geométrica de geóide (achatamento nos pólos) bem como a altitude do local do experimento. Em referenciais acelerados, além das forças reais, devido à ação de outros corpos, devemos introduzir forças fictícias ou

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inerciais de modo que a segunda Lei de Newton seja aplicável. Nenhum agente é responsável pela força fictícia, que só existe no referencial não inercial. Assim, sobre um corpo na superfície da Terra atuam a força de atração gravitacional (força real) e também a força centrífuga (força fictícia). Sobre o corpo de massa m na latitude θ (vamos aproximar a Terra por uma esfera de início) atua na direção radial a força gravitacional de módulo mg apontando para o centro da Terra e na direção perpendicular ao eixo de rotação a força centrífuga que tem módulo ( ) θ ω ρ ω cos 2 2 · · · -= · · -= T cfg R m m F , onde ρ corresponde a distância ao eixo de rotação da Terra. Assim, podemos escrever a força resultante efetiva Fe sentida pelo corpo ao nível do mar (Nussenzveig 1999):

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onde e g ( θ ) é denominada de gravidade efetiva na latitude θ e ge(0) seu valor no equador. Assim,

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Como o raio polar é menor que o raio equatorial, o achatamento nos pólos leva a um aumento no valor da gravidade com a latitude de aproximadamente a metade da correção devida a força centrípeta, representada na equação 02 acima. Levando-se em conta estes efeitos temos a seguinte fórmula internacional para o cálculo de g (WGS84, 2004) ao nível do mar:

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Na geologia a gravimetria é técnica corrente na prospecção mineral. As medidas são experimentais e a precisão com que são calculados os valores de g é surpreendente, por exemplo, a gravidade na cidade do Rio de Janeiro na estação A (Observatório Nacional 2004) tem valor 978789,849mGal , com incerteza 0.014mGal . O Gal é a unidade de medida da gravidade no sistema c.g.s, onde 1,0 Gal = 1,0 cm/s 2 = 0,01m/s 2 , sendo uma homenagem a Galileu. Os medidores atuais da aceleração da gravidade, gravímetros, são extremamente sensíveis e podem medir g com precisão de 1 parte em 10 9 (equivalente a medir a distância da Terra à Lua com precisão de 1 metro). Por meio de estudos gravimétricos a Terra é esboçada na forma geométrica denominada geóide, que coincide com a superfície pela qual o nível médio dos oceanos se prolongaria pelos continentes, ajustando-se ao efeito combinado da força gravitacional e a da força centrífuga, sendo assim perpendicular a aceleração da gravidade efetiva em todos os pontos da superfície da Terra, desprezando as irregularidades locais. A variação da aceleração da gravidade g com a altitude é pequena, da ordem de 0.003086m/s /km 2 (WGS-84).

## VALOR DA GRAVIDADE NOS LIVROS DIDÁTICOS

Não existe um consenso entre os autores ao apresentar o valor de g. Analisamos tanto livros de ensino médio como de ensino superior. Nos livros de ensino superior (Chaves 2001), (Serway 1996) e (Symon 1982) concordam que g varia com a altitude e latitude, mas para Chaves o 'valor típico' de g=9,81m/s 2 ', para Serway 'na superfície' g =9,80m/s 2 e para Symon g =9,802m/s 2 é o 'valor padrão na superfície da Terra'. Por outro lado os livros de ensino médio apresentam também

uma diversidade de justificativas: (Ramalho 1979) e (Paraná 1993) colocam que ao nível do mar numa latitude de 45 o é definido o 'valor normal de g' como 9,80665m/s 2 . Paraná informa que a cidade de Turim na Itália é um exemplo. Já (Alberto Gaspar 2002) informa simplesmente que g=9,8m/s 2 sem mais comentários. No livro do (GREF 2000) temos informações detalhadas: perto da superfície g=9,81 m/s 2 ; ao nível do mar g = 9,803 m/s 2 ; no pico da Neblina a 3000m g = 9,794 m/s 2 ; no monte Everest a 9000m g=9,776m/s 2 . No equador g=9,750 m/s 2 e no pólo g=9,832 m/s 2 . Já (Ramalho 1979) informa g=9,78039 m/s 2 no equador e g=9,83217 m/s 2 no pólo. Portanto, a maioria dos textos informa a dependência de g com a latitude e com a altitude, mas não existe um consenso sobre um valor padrão.

## EXPERIMENTO

Uma das atividades dos estagiários do Laboratório de Física da UCB é a elaboração, atualização e teste de roteiros experimentais para o laboratório de mecânica, tanto para o ensino médio como para o superior. Na verdade, são elaborados roteiros adequados a cada situação, apesar de terem referência a um mesmo experimento. Uma das tarefas propostas aos alunos foi a atualização do roteiro para o experimento queda livre, já que recentemente a universidade adquiriu equipamentos dos fabricantes Pasco ® e Azeheb ® . Como tarefa inicial os alunos realizaram diversas montagens experimentais que conduziram de início a valores discrepantes para g. De uma forma mais sistemática selecionaram quatro montagens experimentais com equipamentos dos fabricantes Leybold ® , Pasco ® e Azeheb ® onde realizavam dois experimentos diferentes para o cálculo de g, ambos baseados no movimento de queda livre. O primeiro experimento foi realizado mediante o procedimento experimental do impacto , onde o tempo de queda t q de uma esfera solta de uma altura h é registrado através do impacto com uma plataforma (sensor) no solo, sendo g determinada diretamente da equação de movimento dada por 2 / 2 q t h g = . Já no procedimento experimental do deslocamento é medido o tempo de trânsito ∆ t entre dois sensores ópticos, distanciados de h e h 1 2 em relação a posição de lançamento, procedimento sugerido no manual de aparato 'queda livre' do fabricante Azeheb ® . A análise das equações de movimento conduz a ( ) [ ] . / 2 2 1 2 t h h g ∆ -= Todos os resultados experimentais estão dentro da margem de erro esperada. Na tabela 1 apresentamos os resultados destacando a metodologia e a aparelhagem utilizada.

Tabela 01: valores experimentais

Para cada procedimento realizamos três rodadas de 10 medidas variando as alturas de lançamento, num total de trinta medidas. Observa-se que o método do deslocamento produz valores médios com maior concordância em relação ao valor determinado pela equação 03 para o local do experimento, g = 9,780m/s 2 .

## RESULTADOS TEÓRICOS

Os resultados teóricos mostram que o valor da aceleração da gravidade g não é constante, dependendo da altitude e da latitude bem como da morfologia local das rochas. Utilizando a equação 03 temos os seguintes valores para gravidade: na cidade do Rio de Janeiro, latitude 22°27' o valor de g=9,788m/s 2 ; no extremo sul do Brasil, cidade de Chuí no RS, latitude 33°41' o valor de g =9,796m/s 2 ; no laboratório de física da UCB, latitude 15°55' , g = 9,780 m/s ; n o equador g=9,78033 m/s² e nos pólos 9,83219 m/s². Qual a origem do valor 9,8 m/s² , 9,80 m/s² ou 9,81m/s² ? A aplicação da equação 03 corresponde a uma latitude entre 38.1° e 49.2° , portanto uma latitude média. Também podemos associar este valor ao valor médio sobre a superfície da Terra, utilizando novamente esta equação o valor médio com a latitude variando de 0° até 90° é 9.80622m/s , 2 resultado próximo ao valor normal colocado como padrão em alguns livros didáticos, 9,80665m/s 2 .

## CONCLUSÃO

Sugere-se ao professor que quando for apresentar aos alunos o valor da aceleração da gravidade como 9,8m/s 2 ou 9,81m/s² , que seja bastante explícito, dizendo qual a origem deste valor. O professor não deve colocar g como constante, destacando sua variação com a altitude e a latitude, bem como dependente da morfologia local das rochas. Vale ressaltar que para determinar a expressão proposta pela Azeheb ® os alunos aprendem a manipular as equações de movimento em uma situação real, exigindo também melhor aplicação dos conceitos de Física, enquanto que no procedimento do impacto g é determinado pela aplicação direta da equação horária da posição. Portanto, havendo a disponibilidade do equipamento, devemos realizar o experimento medida de g pelo método do deslocamento.

## REFERÊNCIAS

CHAVES, Alaor Silvério. Física: mecânica. Rio de Janeiro: Reichmann e Affonso, 2001.

SERWAY, Raymond A. Física 1: para cientistas e engenheiros : com física moderna. 3. e d Rio de Janeiro: LTC, 1996.

NUSSENZVEIG, HERCH MOISÉS. CURSO DE FÍSICA BÁSICA: MECÂNICA. 3. ed São Paulo: Edgard Blücher, 1999.

SYMON, KEITH R. MECANICA. 4.ed Rio de Janeiro: Campus, 1982.

GREF, Grupo de reelaboração do ensino de física. Física 1: mecânica. 6. ed. São Paulo: EDUSP Editora da Universidade de São Paulo, 2000.

RAMALHO JÚNIOR, Francisco; FERRARO, Nicolau Gilberto; SOARES, PAULO ANTONIO DE TOLEDO. Os fundamentos da física. 3. ed São Paulo: Moderna, 1979.

CHIQUETTO, MARCOS JOSE; VALENTIM, BÁRBARA; PAGLIARI, ESTÉFANO. APRENDENDO FÍSICA. São Paulo: Scipione, 1996.

PARANÁ, Djalma Nunes da Silva. Física, vol.01 mecânica. 1. ed. São Paulo: Ática, 1993.

GASPAR, Alberto. Física, volume único. São Paulo: Àtica, 2002.

WGS84-World Geodetic System 1984, http://www.unisystem.se/b01150.pdf, acesso em 05/06/2004.

Observatório Nacional: Ajustamento da Rede Gravimétrica Fundamental Brasileira

http://www.on.br/institucional/geofisica/areapage/gravimetria/rgfbabs.html, acesso em 05/06/2004.