EQUILÍBRIO: DETERMINANDO EXPERIMENTALMENTE O CENTRO DE GRAVIDADE DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

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## EQUIL"BRIO: DETERMINANDO EXPERIMENTALMENTE O CENTRO DE GRAVIDADE DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Emerson Izidoro dos Santos [mson@usp.br] Norberto Cardoso Ferreira [norberto@if.usp.br] Rui Manoel de Bastos Vieira [ruiripe@if.usp.br]

Daniel 'ngelo dos Santos [daniel@cienciaemshow.com.br]

Instituto de Física da Universidade de Sªo Paulo

## RESUMO

Apresentamos aqui uma atividade lœdica realizada com material de baixo custo que discute o conceito de centro de gravidade e suas implicaçıes para o equilíbrio de corpos rígidos. Propomos uma maneira simples de determinar experimentalmente o centro de gravidade de diversas figuras geomØtricas homogŒneas ou nªo homogŒneas. Para isso utilizamos figuras recortadas em papel cartªo alØm de um dispositivo simples construído com um pequeno pedaço de madeira, um alfinete, linha e massa de modelar. Essa atividade pode ser realizada tanto com estudantes do ensino mØdio quanto do ensino fundamental jÆ que discute conceitualmente as idØias de equilíbrio de corpos rígidos sem a necessidade do formalismo matemÆtico.

## 1- INTRODU˙ˆO

Figura 1

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Figura 2

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Figura 3

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Na figura 1 observamos um livro apoiado sobre uma superfície plana. O livro exerce uma força peso sobre a superfície, representada na figura 2. Pode-se observar que essa força atua, aproximadamente, no 'centro do livro'. O livro estÆ numa situaçªo de equilíbrio. Isto Ø: nªo desliza, nªo gira, em suma, permanece como estÆ.

Mostrar como determinar onde estÆ aplicada exatamente essa força, bem como as conseqüŒncias decorrentes desse fato, serÆ uma das preocupaçıes deste trabalho. Aqui mostraremos como determinar o centro de gravidade de diversas figuras construídas em papel cartªo e, ao mesmo tempo, discutiremos os princípios físicos envolvidos.

Vamos voltar mais uma vez ao nosso livro: supondo que quisØssemos equilibrar o livro sobre um lÆpis em pØ. Nªo seria colocando o lÆpis em qualquer posiçªo que obteríamos Œxito. O lÆpis deveria ficar numa posiçªo tal que todo o peso do livro estivesse agindo sobre o lÆpis. Algo semelhante ao que estÆ representado na figura 3. Podemos notar que o peso do livro passa pela base do lÆpis. Caso o lÆpis tivesse sido colocado mais para a direita ou mais para a esquerda, o livro poderia cair. Ele nªo estaria mais numa situaçªo de equilíbrio. Vamos prosseguir um pouco com o tema.

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Descobrir onde parece estar localizado o peso do livro, 'aproximadamente no seu centro' como dissemos, pode nªo ser tªo fÆcil como parece. O livro nªo Ø muito regular e as coisas podem complicar um pouco. PorØm, como veremos mais adiante, existem meios simples para determinar esse ponto, que recebe o nome de centro de gravidade ou centro de massa. Mas, vamos discutir ainda um pouco mais.

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Vamos supor que o objeto em questªo fosse uma rosquinha como a que estÆ na figura 4. Esse caso Ø, atØ, um pouco mais estranho. O ponto que procuramos nem pertence à rosquinha propriamente dita. Ele estÆ localizado num ponto que seria o 'centro da rosquinha' e que nªo faria parte da própria rosquinha. PorØm, isto Ø fÆcil de ser entendido. BastarÆ analisar um pouco a questªo. Vamos supor que vamos pegar a rosquinha utilizando uma espØcie de pinça como aparece na figura 5.

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As trŒs posiçıes da rosquinha desenhadas acima podem elucidar um pouco a questªo. Quando a rosquinha Ø segura como na figura 5b seu peso faz com que ela gire atØ atingir a posiçªo que estÆ na figura 5c. Quando chega nessa posiçªo ela poderÆ atØ escorregar e cair, mas nªo vai mais girar. Note que ao atingir essa posiçªo, o centro da rosquinha estÆ logo abaixo do ponto onde as duas pontas da pinça estªo a segurando. Nestas atividades falaremos bastante no centro de gravidade de figuras e corpos e falaremos tambØm nos pontos nos quais estes corpos se apóiam, como o lÆpis com relaçªo ao livro ou nos pontos pelos quais os objetos sªo suspensos, como as pontas das pinças com relaçªo à rosquinha. Falaremos de pontos de apoio e pontos de suspensªo.

## 2- MATERIAL EXPERIMENTAL

Figura 6

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Os experimentos que descreveremos em seguida serªo realizados com o auxílio de um dispositivo como o que estÆ na figura ao lado. Em primeiro lugar precisamos de uma ripa de madeira com um comprimento de 20 cm aproximadamente. A largura e a altura, sªo da ordem de 1 cm. Essas medidas sªo apenas indicativas. Nªo Ø necessÆrio que tenham exatamente tais valores.

A ripa Ø fincada num pedaço de massa de modelar que vai servir de base de apoio para o sistema. Na parte superior da madeira espeta-se um alfinete. Neste œltimo amarra-se um fio de linha de costura. Na outra extremidade do fio Ø colocado mais um pedaço de massa de modelar. O fio de linha nªo deve ser amarrado muito fortemente no alfinete. Ele deve permitir que o pedaço de massa de modelar mova-se livremente. Esse fio, devido ao peso da massa de modelar, vai comportar-se como um fio de prumo. Ele vai indicar a direçªo perpendicular ao solo no local. Ele pode servir, atØ, para que coloquemos a madeira numa posiçªo bem perpendicular ao solo.

Figura 7

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e assemelhem à letra C. Veremos, mais tarde, que o centro de Vamos precisar tambØm de algumas figuras geomØtricas recortadas em cartªo duro. Caso nªo se disponha de um cartªo suficientemente grosso, pode-se colar duas, ou mais, folhas. Em suma, necessitamos de uma figura que nªo dobre com facilidade. Na realidade necessitaremos de vÆrias figuras: retângulos, triângulos, círculos elipses etc. Figuras irregulares tambØm serªo œteis. Podemos incluir nesse conjunto figuras que s gravidade nesse caso, pode nªo pertencer à figura, como aconteceu quando falamos da rosquinha.

## 3- VERIFICANDO A POSI˙ˆO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE UM RET'NGULO.

Figura 8

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Para esta parte do experimento precisamos, em primeiro lugar, recortar um retângulo de cartªo. Em seguida determinamos seu centro traçando suas diagonais. Por fim, fazemos dois furos em dois pontos quaisquer do retângulo. Os furos devem ter um diâmetro tal que seja possível pendurar o cartªo no suporte, como mostram as figuras abaixo.Quando o cartªo Ø pendurado no alfinete ele gira, oscila atØ parar e quando isso acontece, pode-se observar que o fio de prumo passa pelo centro do retângulo. Em seguida, repetimos o mesmo processo e, mais uma vez, podemos notar que o fio passa tambØm pelo centro do retângulo.

As trŒs posiçıes do cartªo na figura 9 mostram como o cartªo oscila em torno do alfinete. Na primeira o peso do cartªo, situado no centro do mesmo, faz com que o mesmo gire no sentido anti-horÆrio. Na segunda, o peso agindo do outro lado faz com que o cartªo gire no sentido horÆrio. Finalmente, na œltima, o cartªo atinge o equilíbrio e seu peso apenas puxa o alfinete para baixo.

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Figura 9

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## 4- OUTROS EXEMPLOS

Um fato que Ø de grande importância neste conjunto de experimentos Ø que quando suspendemos um objeto que possa girar em torno desse centro de suspensªo Ø que o centro de gravidade vai se posicionar abaixo do centro de suspensªo. Procedendo da mesma maneira que fizemos com o retângulo, podemos verificar que o centro de gravidade de um círculo ou de um disco muito fino, mais precisamente, localiza-se no seu centro geomØtrico, o mesmo ocorrendo com elipses, quadrados, losangos etc. PorØm, onde estarÆ o centro de gravidade de um triângulo ou de um trapØzio?

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Utilizando o mesmo mØtodo que foi aplicado para a verificaçªo da posiçªo do centro de massa do retângulo, podemos determinar esses pontos. Deveremos construir uma figura em cartªo bem duro, fazer dois furos para pendura-la duas vezes no suporte marcando, em cada caso, a direçªo vertical. Observe a figura 10.

O que tem de ser feito Ø obter a direçªo que, aproximadamente, na figura, estÆ representada pela sombra do fio de linha. O ponto de encontro dessas verticais Ø o centro de gravidade do triângulo. Construa um triângulo qualquer. Procure que o mesmo nªo seja retângulo ou equilÆtero. Use os mesmos procedimentos para determinar o que os matemÆticos chamam de baricentro do triângulo. Ele nada mais Ø que o centro de massa do triângulo que vocŒ construiu. Uma vez determinado esse ponto vocŒ poderÆ responder se o baricentro de um triângulo Ø o encontro das medianas, das alturas ou das bissetrizes do triângulo. Podemos determinar tambØm, procedendo da mesma maneira, o centro de gravidade de um trapØzio ou de uma figura irregular.

## 5- EQUILIBRANDO FIGURAS.

Figura 11

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Figura 12

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Figura 13

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Quando uma figura plana estÆ apoiada num suporte de maneira tal que seu centro de gravidade esteja sobre esse suporte, a figura ficarÆ em equilíbrio. É algo semelhante ao que discutimos quando mostramos o livro que apoiava-se sobre o lÆpis. É bastante fÆcil construir um suporte que sustente nossas figuras. Um pedaço de massa de modelar, um parafuso para metal (de ponta plana), ou um pedaço de palito de churrasco (nªo a parte pontiaguda), servem para isso. Construindo o suporte e apoiando as figuras sobre o mesmo notamos que somente conseguimos o equilíbrio quando o centro de gravidade estiver sobre o apoio. Algumas vezes temos de ser um pouco criativos para conseguir isso. É o caso das figuras cujo centro de gravidade nªo pertence à mesma, como, por exemplo, um aro de cartªo.

Basta um simples olhar na figura 12 para notarmos que o centro de gravidade nªo estÆ localizado fisicamente no aro. Ele estÆ no seu centro, que nªo faz parte do aro propriamente dito. PorØm, podemos repetir o mesmo processo e ao invØs de traçarmos duas retas para determinar o centro de gravidade, colamos com fita adesiva, um fio de linha no lugar onde estaria a reta. A situaçªo estÆ mostrada na figura 13. Assim, podemos constatar que, mesmo fora do corpo, o centro de gravidade nªo perde suas propriedades e o aro fica equilibrado.

## 6- CONSIDERA˙ÕES FINAIS

Utilizando esses procedimentos podemos determinar o centro de gravidade de qualquer figura geomØtrica, inclusive de figuras com distribuiçªo de massa nªo homogŒnea como vimos no œltimo exemplo onde a figura tinha um 'furo'. Poderíamos tambØm construir figuras que tivessem alguns pontos com densidade maior, por exemplo, colando uma moeda em algum ponto da figura. Nossa sugestªo Ø que os estudantes possam explorar suas curiosidades nessa atividade e que possamos a partir delas discutir a confecçªo de brinquedos que utilizem os conceitos de equilíbrio.

## 6- BIBLIOGRAFIA.

GASPAR, Alberto. Física 1 - Mecânica. Sªo Paulo, Editora 'tica, 2003. GREF. Física 1 - Mecânica. Sªo Paulo, Edusp, 2000. FERREIRA, Norberto C. . Notas de aula de Produçªo de Material DidÆtico. Sªo Paulo, IFUSP, 2000. PROJETO RIPE. Figuras de Equilíbrio. Apostila. Sªo Paulo, Instituto de Física - USP, 2000.

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Figura 10

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