Aprendizagem de teoria de grupos via computação algébrica

## Aprendizagem de teoria de grupos via programação e computação algébrica

Mateus G. Lima Programa de Bolsas de Iniciação Científica - CNPq Departamento de Física - Universidade Federal do Pará - UFPA

Danilo T. Alves

Departamento de Física - Universidade Federal do Pará - UFPA

## Resumo

Este trabalho, feito no contexto de um projeto de iniciação científica, ilustra o uso de elaboração de programas via computação algébrica (CA) como ferramenta de aprendizagem de teoria de grupos. Ilustramos o uso de tal ferramenta no estudo do grupo SU(2), obtendo numa seção de computação algébrica a forma geral da matriz complexa 2X2 que pertence a este grupo, assim como seus geradores. Implementamos em rotinas computacionais simples as idéias de comutação e anticomutação. Descrevemos como o processo de elaboração de rotinas, a testagem e a fixação de erros nas mesmas, influenciam o ciclo de aprendizagem, permitindo concentração na estrutura lógica dos problemas.

Palavras chave : programação, teoria de grupos, computação algébrica.

## Introdução

Como ferramenta de pesquisa em Física Teórica, o uso de softwares de computação algébrica (CA) tem reduzido o tempo de cálculos matemáticos e, conseqüentemente, facilitado a obtenção de resultados.

Como ferramenta de aprendizagem, o conjunto de comandos disponíveis nos sistemas de CA permite a verificação e exploração de conceitos em Física [1-3]. O uso de programação num ambiente de computação algébrica (CA) como ferramenta de aprendizagem tem sido explorado em cursos de graduação e projetos de iniciação científica na UFPA e na UERJ [1-4]. Neste trabalho relatamos os principais aspectos observados no uso de rotinas computacionais via Maple (www.maplesoft.com) como ferramenta de aprendizagem no estudo introdutório de teoria de grupos [5,6].

## Ciclo de aprendizagem

O ciclo de aprendizagem originado durante o presente estudo via CA, resume-se como:

- · Conceitos matemáticos foram explorados usando-se ferramentas computacionais disponíveis nos sistemas de CA. Como exemplo, com a definição dos elementos do grupo SU(2) como matrizes 2X2, complexas, unitárias e com determinante unitário, gerou-se numa seção de CA uma seqüência lógica de passos que levam uma matriz genérica:

> M:=Matrix([[x,y],[z,w]]);

<!-- image -->

até a forma geral de uma matriz pertencente ao SU(2):

## &gt; M:=Matrix([[x,y],[-conjugate(y),conjugate(x)]]);

<!-- formula-not-decoded -->

Tal seqüência lógica observada foi também usada na busca da forma geral das matrizes pertencentes ao SU(3). Portanto, com o uso de CA, uma vez que cálculos básicos ficam a cargo da máquina, sobra tempo para enfocar a estrutura lógica.

- · Conceitos foram organizados em seqüências lógicas de operações matemáticas traduzidas em rotinas computacionais. Como exemplo temos alguns conceitos como os de comutação e anticomutação de operadores dos geradores do grupo. Implementou-se o comutador como:

&gt; comut:=proc(i,j) MatrixAdd(Multiply(sigma[i],sigma[j]),(Multiply(sigma[j],sigma[i]))); end proc;

<!-- formula-not-decoded -->

```
:-LinearAlgebra MatrixAdd LinearAlgebra ( ), :-Multiply , [ ] σ i [ ] σ j ( -( ) ) :-LinearAlgebra Multiply , [ ] σ j [ ] σ i
```

## end proc c end pro

Os anticomutadores foram implementados como:

&gt; anticomut:=proc(i,j)MatrixAdd(Multiply(sigma[i],sigma[j]), (Multiply(sigma[j],sigma[i]))); end proc;

<!-- formula-not-decoded -->

:-LinearAlgebra MatrixAdd LinearAlgebra ( ), :-Multiply , [ ] σ i [ ] σ j ( ( )) :-LinearAlgebra Multiply , [ ] σ j [ ] σ i

## end proc c end pro

Importante notar: a elaboração das rotinas acima teve foco na relação entre os operadores. Não houve necessidade de desvios com implementação de operações básicas, como multiplicação de matrizes, pois já se encontra implementado nos sistemas de CA. Esta é uma das vantagens do uso de programação via CA em processos de aprendizagem [2,3].

- · A construção de tais rotinas, além de fixar os conceitos de comutador e anticomutador, permitem a direta verificação de identidades [6], como:

<!-- formula-not-decoded -->

<!-- formula-not-decoded -->

(onde Id representa a matriz identidade). Tal verificação é um processo de testagem dos programas elaborados, verificando a necessidade de correção dos programas. Um erro na formulação de um programa pode indicar que os conceitos iniciais não estão claros para o estudante, como ocorreu várias vezes no processo por nós experimentado.

## Conclusão

A representação de conceitos segundo programas de computador apura o entendimento, sendo que a programação num ambiente de CA beneficia-se da vasta biblioteca de comandos já implementados, permitindo concentração nos conceitos teóricos e na estrutura lógica dos problemas.

## Referências

- [1] E.S. Cheb-Terrab and M. Nisembaum, A Introdução da computação simbólica no ensino de física em nível de graduação , Computers in Education Workshop (EDAI/95), Fac. Educ., UERJ, Rio de Janeiro, Brasil (1995).
- [2] D.T. Alves, J. V. Amaral, E.S. Cheb-Terrab and J.F. Medeiros Neto, 'Aprendizagem de Eletromagnetismo via programação e computação simbólica' , Edição especial da 'Revista Brasileira de Ensino de Física', 24, 201 (2002).
- [3] J. V. Amaral, 'Aprendizagem de Eletromagnetismo via programação e computação simbólica' , Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação em Física, UFPA (2002).
- [4] M. G. Lima, 'Teoria de grupos e espaços vetoriais via computação algébrica' , Relatório Final ao Programa de Bolsas de Iniciação Científica do CNPq (2004).
- [5] Chris J. Isham, Lectures on Groups and Vector Spaces for Physicists , World Scientific, Lecture Notes in Physics, vol. 31, World Scientific (1989).
- [6] José Helayel Neto, Notas de aula do curso de Teoria de grupos , II Escola de Verão do Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas - CBPF (2000).