INVESTIGANDO O COMPORTAMENTO DE PÊNDULOS MAGNÉTICOS ACOPLADOS

## INVESTIGANDO O COMPORTAMENTO DE PÊNDULOS MAGNÉTICOS ACOPLADOS

Mariele Regina Pinheiro Juliana Cristina Alves Paulo Batista Ramos [pbatista@fev.edu.br]

Centro Universitário de Votuporanga

## RESUMO

Neste trabalho, investigamos o comportamento de dois pêndulos magnéticos acoplados. De um modo geral procuramos através de uma abordagem qualitativa e semi-quantitativa investigar algumas características interessantes como: ressonância e batimentos presentes nesse sistema. Com a ajuda de ferramentas computacionais elaboramos um pequeno vídeo que pode ser usado em um laboratório de informática. Aliado a abordagem tradicional, esta demonstração permite uma clara visualização dos fenômenos a serem apresentados. De fato, os fenômenos de ressonância e batimentos podem ser comprovados sem maiores dificuldades e sem a necessidade de um formalismo matemático. Esta atividade com pêndulos magnéticos, que é pouco explorada, pode se juntar as experiências com pêndulos mecânicos acoplados e demonstrar o mesmo tipo de fenômeno envolvendo a troca de energia entre os pêndulos.

Recentemente várias metodologias alternativas têm surgido no intuito de tornar o ensino de ciências mais atraente. Em particular, no que se refere ao ensino de Física, destacam-se metodologias que privilegiam elementos do cotidiano, questões conceituais, a utilização de ferramentas computacionais e a introdução de experimentos simples que possam contribuir para a melhoria dos conceitos a serem apresentados. Neste sentido, procuramos a partir do estudo de dois pêndulos magnéticos acoplados incorporar algumas características dessas metodologias no intuito de apresentar várias conceitos presentes nos chamados sistemas oscilantes. O sistema foi construído a partir de dois pêndulos formados por ímãs que é mostrado na figura 1. Esses pêndulos eram forçados a oscilar sobre uma mesma estrutura e pela interação magnética entre eles o fenômeno de troca de energia pôde ser observado. Além do procedimento experimental acima descrito, com a ajuda de uma câmera digital produzimos um pequeno filme dos dois sistemas para que tal recurso pudesse ser utilizado em sala de aula ou em um laboratório de informática, sem a necessidade da montagem de todo o aparato. Este vídeo se encontra disponível no site do curso de Licenciatura Plena em Física do Centro Universitário de Votuporanga, www.unifev.edu.br/fisica em uma seção chamada sala de experimentos e na subseção denominada eletromagnetismo.

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FIGURA 1Figura 1. Aparato montado para os pêndulos magnéticos.

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A descrição desse sistema de pêndulos acoplados pode ser mapeada no estudo de dois osciladores harmônicos acoplados. Esta formulação é bem conhecida e pode ser encontrada com maiores detalhes, por exemplo, em alguns livros textos d e graduação. Na figura 2, representamos dois modos de oscilações característicos desse sistema.

## FIGURA 2

Modo A Modo B

Figura 2. Representação esquemática dos modos normais de oscilação A e B.

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O primeiro modo de oscilação, que chamamos aqui simplesmente por modo A, se dá quando os dois pêndulos realizam o movimento em fase. Este movimento ocorre como se os dois pêndulos fossem independentes. É possível descrever este movimento, a partir das seguintes equações:

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O modo de oscilação B acontece quando os pêndulos se encontram fora de fase e são postos a oscilar. Devido a interação mediada pelo campo magnético existente entre eles, verifica-se uma freqüência de oscilação maior. Da mesma forma, este movimento pode ser descrito pelas seguintes equações:

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Analisando agora a situação na qual o primeiro pêndulo se encontra parado enquanto o segundo é posto a oscilar, é possível mostrar que ocorre uma superposição dos modos de oscilação A e B. A partir de algumas manipulações algébricas obtém-se as seguintes equações que descrevem os movimentos dos dois pêndulos:

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No instante t=0, o primeiro pêndulo se encontra em repouso enquanto o segundo é posto a oscilar com amplitude A. Devido a modulação das amplitudes dos dois pêndulos, presentes nas equações acima nos fatores ( ) ( ) t f f p A B × -sen e ( ) × ( ) t f f p A B -cos , a oscilação do segundo pêndulo, e consequentemente a sua energia, vai diminuindo e sendo transferida para o primeiro pêndulo que se encontrava em repouso. Até a metade do período de oscilação, é possível notar que a energia do segundo pêndulo vai diminuindo até que ele pare enquanto que a energia do primeiro pêndulo vai aumentando até atingir o seu máximo. A partir daí, na próxima metade, o processo de transferência de energia se inverte ocorrendo que a energia do primeiro começa a diminuir e ser transferida para o segundo pêndulo e então o processo todo começa a se repetir sucessivamente. Para ilustrar graficamente este processo, plotamos as funções Φ 1 e Φ 2 para alguns valores de freqüências medidos encontrados na tabela 1.

FIGURA 3

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Figura 3. Gráficos das funções Φ 1 e Φ 2 para os seguintes valores medidos f =17/20 Hz e f = 15/20 Hz, B A provenientes da Tabela 1.

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Na Tabela 1, algumas medidas realizadas com relação aos modos A e B e o modo acoplado A-B, em função da distância entre os pêndulos são exibidas. É possível notar, como esperado, que os valores medidos para a freqüência de batimento ∆ f = f 2 - f 1 concordam com a teoria.

TABELA 1

Tabela 1 . Medidas das freqüências dos modos dos pêndulos magnéticos acoplados.

Para a realização dessas medidas fixamos arbitrariamente um tempo de 20 segundos para que pudéssemos observar inúmeras oscilações dos pêndulos magnéticos. Dessa forma, como apresentado na Tabela 1, observamos que, por exemplo em 20 segundos, para uma distância entre os pêndulos de 10cm, o modo A realiza 15 oscilações, o modo B realiza 22 oscilações e finalmente quando um pêndulo é feito oscilar enquanto o outro se encontra parado ocorre 7 trocas de energias entre eles. Apesar do tratamento teórico sobre este tema ser relativamente elaborado para estudantes de ensino médio e mesmo para estudantes dos primeiros anos dos cursos de graduação, com a montagem experimental realizada e com a ajuda de recursos computacionais utilizando os filmes feitos, vários conceitos importantes presentes no estudo de sistemas oscilantes podem ser introduzidos de maneira mais intuitiva. Assim sendo, acreditamos que tal abordagem pode contribuir para uma melhor compreensão e ilustração dos fenômenos a serem apresentados.

## REFERÊNCIAS

[ 1] HEWITT, P.G., Física Conceitual , 9ª ed., Porto Alegre: Bookman, 2002, p 354-356. [2] NUSSENZVEIG, H.M. Curso de Física Básica . Vol. II. 3 ed. São Paulo: Edgar Blucher Ltda., ª

- 1981.