Metodologia para uma disciplina introdutória de Dinâmica Não-Linear para pós-graduação

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## METODOLOGIA PARA UMA DISCIPLINA INTRODUTÓRIA DE DINÂMICA NÃO-LINEAR PARA PÓS-GRADUAÇÃO

Mário Sérgio Teixeira da Freitas [msergio@cefetpr.br] a

a Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná

## RESUMO

É descrita a aplicação da metodologia adotada com sucesso no ano de 2003 no Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial (CPGEI) do CEFET-Pr, referente à disciplina 'Tópicos de Dinâmica Não-Linear e Caos', com duração de 30 horas, ministradas ao longo de 12 semanas pelo autor deste trabalho, visando oferecer aos estudantes um primeiro contato com essa ciência, em termos preferencialmente qualitativos. Na descrição, são mencionadas diversas linhas de pesquisa nas quais os procedimentos científicos envolvidos no conteúdo programático são aplicáveis. Do total de 30 horas, 24 são aulas teóricas, envolvendo a apresentação dos conceitos fundamentais, sempre referenciados a exemplos familiares aos estudantes, intercalada por discussões desses conceitos conduzidas pelo professor c om a turma, e 6 são reservadas a atividades de aprendizagem efetivamente centrada no estudante, mas sempre com a assistência do professor, em um ambiente com acesso a recursos computacionais e conectado à Internet, incluindo entre elas 1 aula de medições experimentais, realizada com materiais de baixo custo. A avaliação é realizada pelo acompanhamento das atividades centradas no estudante e pela correção de 12 listas de exercícios, elaboradas especialmente para a disciplina, propostas semanalmente aos matriculados, cujos itens abrangem tanto a fundamentação teórica quanto as aplicações em diferentes áreas da ciência e tecnologia. Também são expostos os critérios adotados para escolha de um livro-texto adequado aos objetivos do curso e à sua duração.

## INTRODUÇÃO

O estudo da dinâmica de sistemas não-lineares se expandiu muito nas últimas décadas, tendo sido aplicado a diversas áreas da ciência e da tecnologia [1]. O comportamento invariante de escala conduz aos sistemas complexos, onde interações não-lineares entre as partes levam a um comportamento coletivo que inclui a auto-organização [2],[3]. Modelos matemáticos extremamente simples levam a comportamentos espaço-temporais com alta diversidade, como por exemplo as redes neurais, e autômatos celulares em geral [3],[4]. O conceito de caos representou uma mudança de paradigma referente ao determinismo proposto por Laplace no século XIX, que interpretava o universo inteiro como um mecanismo de relojoaria [3],[5] . A 'dependência sensível às condições iniciais' levou ao controle de caos, aplicável a áreas tão diversas como a astronáutica, a eletrotécnica e a neurologia [6].

A confusão entre 'caos' e 'ruído' era, até poucas décadas atrás, justificada pelas limitações computacionais para uso de métodos numéricos. Sistemas de equações diferencias não-lineares em sua maioria não admitirem resolução analítica, devido à perda da integrabilidade [8]. E resultados experimentais que indicassem comportamento irregular eram via de regra descartados, sendo atribuídos erroneamente a imperfeições de medição introduzindo ruído externo no sistema [7].

Um recurso poderoso adotado nessa ciência é o paralelo entre o comportamento dinâmico e a estrutura de entes geométricos no espaço de fase [9].

Além da construção de modelos, a Dinâmica Não-Linear também abrange o processamento de sinais: dispondo-se da série temporal de valores de uma única variável medida, é reconstruída a dinâmica que gerou essa série, ou seja, entre outros aspectos, levanta-se quantas variáveis estão envolvidas no sistema [4]. Nesse sentido, muitos métodos estatísticos foram desenvolvidos.

Essa ciência é aplicável a qualquer área de pesquisa que envolva a evolução de variáveis interrelacionadas por equações não-lineares. Podem ser citadas como exemplo a meteorologia, a ecologia, a fisiologia, a química, a economia, a astronomia, etc [1].

Tendo em vista os aspectos gerais mencionados acima, é idealizado um conteúdo programático para uma disciplina introdutória a essa ciência, a princípio para estudantes de pósgraduação, e extensiva a estudantes de graduação que tenham como pré-requisitos noções de cálculo diferencial e integral, álgebra linear, fundamentos de métodos numéricos, vivência com recursos de informática e compreensão de textos científicos em língua inglesa.

Na seqüência, é descrita a metodologia adotada na montagem da disciplina, incluindo distribuição do conteúdo programático, formato dos tipos de aula, instrumentos para avaliação, e também critérios para seleção de um livro-texto. São tecidos comentários sobre o aproveitamento, assim como sobre os problemas enfrentados e possibilidades para minimizá-los.

## ESTRUTURA METODOLÓGICA DA DISCIPLINA

Para escrever um conteúdo programático, foram selecionados os itens de maior interesse para

que a teoria pudesse ser aplicada a múltiplas linhas de pesquisa. Também foi aventada a adoção de um único livro-texto que incluísse os itens desejados, compatível com um curso de 12 semanas. Nesse período, são totalizadas 24 horas de aula teórica, mais 6 de aprendizagem centrada no estudante. No caso, as aulas foram ministradas uma vez por semana, com 2 horas de apresentação da teoria, e a cada 2 semanas 1 hora extra para exercitar, na presença do professor e em ambiente apropriado, as simulações computacionais, que são fundamentais em sistemas não-lineares.

As aulas teóricas foram enriquecidas com freqüentes exemplos de referência, nos quais a contextualização dos conceitos apresentados pelo professor pudessem ser discutidos na seqüência pelos estudantes ainda no espaço de aula. Com o recurso de um projetor multi-midia, foram acessadas imagens gráficas de alta complexidade, assim como a demonstração de simulações computacionais durante a explanação teórica. Simultaneamente, um retroprojetor com cópias em transparência das figuras do livro-texto adotado ajudou a referenciar o texto das notas de aula.

As 6 horas de atividades de aprendizagem centrada no estudante foram realizadas na sala especial B303, oferecida pelo Departamento de Eletrônica (DAELN) do CEFET-Pr, que conta com 12 microcomputadores distribuídos em bancadas compartilhadas por 2 usuários. Foram distribuídos roteiros de pesquisa, elaborados especialmente para a disciplina, que desafiam o estudante a investigar um determinado sistema dinâmico, tirando conclusões sobre vários aspectos do seu comportamento, sempre remetendo a conceitos expostos em aula teórica. Não foi exigido dos estudantes o desenvolvimento de programas de próprio punho para integração numérica de equações diferenciais: optou-se por usufruir de programas já disponíveis, inclusive de aplicativos em Java que oferecem uma visualização direta do espaço de fase, focalizando o interesse na interpretação desses resultados em termos dinâmicos. Apenas exercícios modestos de programação foram propostos, como o Método de Euler, executável numa planilha do Microsoft Excel.

Uma aula destinou-se à medição experimental da dimensão fractal: foram fornecidos materiais reaproveitáveis, como papel vegetal milimetrado para levantar a dimensão do atrator de Ikeda pelo método de contagem de caixas [5], e também uma experiência com bolas de papel amarrotado [7].

## CRITÉRIOS PARA ADOÇÀO DE UM LIVRO-TEXTO

A metodologia adota um único livro-texto, para viabilizar o acompanhamento das aulas: para a escolha, procurou-se uma publicação que atendesse aos seguintes critérios:

- a) conteúdo amplo, que abranja várias áreas de atuação dessa ciência, para que possa ser aproveitado por estudantes envolvidos em diferentes linhas de pesquisa;
- b) grau de aprofundamento compatível com a duração de um curso em 12 semanas;
- c) abordagem realmente introdutória, ou seja, que pressuponha que o leitor está tendo seu primeiro contato com a terminologia e os procedimentos adotados;
- d) descrição qualitativa dos conceitos introduzidos, que exija do estudante mais um exercício de abstração do que o domínio de um ferramental matemático avançado;
- e) fartura de ilustrações explicativas - a ciência em estudo é vinculada à topologia, o que requer um intenso exercício de visualização espacial por parte do estudante;
- f) reforço sobre sistemas espaço-temporais, como redes booleanas e autômatos celulares, por esse assunto envolver modelos adaptáveis a vários ramos da ciência;
- g) ênfase especial em análise de séries temporais, tendo em vista a necessidade de aplicação de seus diferentes métodos em uma grande diversidade de áreas de pesquisa;
- h) uso abundante e diversificado de exemplos de referência.

Nesse contexto, foram analisadas cuidadosamente as seguintes alternativas:

- 1) Monteiro L., Sistemas Dinâmicos (Livraria da Física, 2002)
- 2) Flake G., The Computational Beauty of Nature (Bradford, 1998)
- 3) Mackey M., Glass L., Dos Relógios ao Caos (Edusp 1997, trad. Baranauskas e Fragoso)
- 4) Alligood K., Sauer T., Yorke J., Chaos - An Introduction to Dynamical systems (Springer, 1996)
- 5) Kaplan D., Glass L., Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, 1995)
- 6) Strogatz S., Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Boks, 1994)
- 7) Fiedler Ferrara N., Caos - Uma Introdução (Blucher, 1994)
- 8) Peak D., Frame M., Chaos under Control (Freeman, 1994)
- 9) Ott E., Chaos in Dynamical Systems (Cambridge, 1993)
- 10) Schuster H., Deteministic Chaos (Physik-Verlag, 1984)

A Tabela 1 mostra a avaliação de cada um dos itens acima, referindo-se estritamente ao atendimento das necessidades do conteúdo previsto.

- O livro escolhido foi o de autoria de Kaplan & Glass. Com base na seqüência apresentada pelos autores, o conteúdo programático fica organizado nos seguintes capítulos:
- 1. Equações a Diferenças Finitas ('Mapas')
- Tipos de crescimento e decaimento em mapas lineares e não-lineares; métodos de iteração; estabilidade de estados estacionários; noção de comportamento caótico; quase-periodicidade.
- 2. Redes Booleanas e Autômatos Celulares Elementos, funções e redes booleanas; padrões criados por autômatos celulares; meios excitáveis; algoritmos genéticos.
- 3. Auto-Similaridade e Geometria Fractal
- Fatores de escala e algoritmos recursivos; exemplos de fractais; dimensão fracionária; passeio aleatório e movimento browniano; escape; fronteiras de bacia; agregação fractal.
- 4. Equações Diferenciais Unidimensionais Crescimento e decaimento exponencial; análise de pontos fixos; resposta dinâmica a impulsos
- isolados e periódicos.
- 5. Equações Diferenciais Bidimensionais
- Soluções, trajetórias e fluxos; determinantes e autovalores; plano de fase; análise de estabilidade local; ciclos-limite; exemplos de dinâmica em três ou mais dimensões.
- 6. Análise de Séries Temporais
- Medição e tipos de ruído; função de auto-correlação; análise por espectros de potência;

reconstrução de mapas e do plano de fase a partir de análise de dados; caracterização de caos.

A escolha mostrou-se acertada, tendo sido o conteúdo explorado quase integralmente.

## RESULTADOS DA APLICAÇÃO DA METODOLOGIA

'Tópicos de Dinâmica Não-Linear e Caos' foi oferecida pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial (CPGEI) do CEFET-Pr, de 3/10 a 18/12 de 2003. Participaram com comparecimento médio de 90%, e avaliados com nota média de 89%, 9 alunos de pós-graduação (6 matriculados e 3 ouvintes) e 1 de graduação (Engenharia Industrial Eletrotécnica). Freqüentaram também profissionais não submetidos à avaliação: professores da instituição, e outros estudantes de pós-graduação e de graduação.

A implementação foi bem-sucedida: inclusive levou a uma monografia de projeto final da Engenharia Eletrotécnica, sobre caos em um circuito com diodo não-linear. Despertou também o interesse de novos alunos em uma segunda oportunidade de cursar a disciplina.

Alguns aspectos devem ser ressaltados quanto ao capítulo 6 (Análise de Séries Temporais). O tempo de exposição foi muito restrito para explorar devidamente o potencial de aplicação dos métodos descritos. Uma alternativa para contornar esse problema seria incluir este capítulo em uma disciplina de tópicos complementares, juntamente com o conteúdo do capítulo 2 (Redes Booleanas e Autômatos Celulares), que de forma alguma é pré-requisito para os capítulos subsequentes. Assim, o conteúdo seria melhor distribuído, com um ritmo didático mais efetivo.

## CONCLUSÃO

A metodologia desenvolvida foi considerada válida pelos estudantes matriculados. Espera-se que a disciplina venha a ser oferecida periodicamente no CEFET-Pr.

Tabela 1 : Avaliação para escolha de um livro-texto apropriado para a metodologia prevista

Referências

- [1] Strogatz S., Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Boks, 1994)
- [2] Vários autores, Ciência Hoje, número especial sobre CAOS (mar/abr 1992)
- [3] Flake G., The Computational Beauty of Nature (Bradford, 1998)
- [4] Kaplan D., Glass L., Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, 1995)
- [5] Schuster H., Deteministic Chaos (Physik-Verlag, 1984)
- [6] Shinbrot et. Al., Using small perturbations to control chaos, Nature 363, 411-417 (1993)
- [7] Peak D., Frame M., Chaos under Control (Freeman, 1994)
- [8] Lichtenberg A., Lieberman M., Regular and Chaotic Dynamics (Springer, 1997)
- [9] Wiggins S., Introduction to Applied Nonlinear Dynamics and Chaos (Springer, 1997)