A MECÂNICA ANALÍTICA EM UMA ABORDAGEM HISTÓRICA: UM ESTUDO PILOTO SOBRE IMPLICAÇÕES PARA A APRENDIZAGEM CONCEITUAL

## A MECÂNICA ANALÍTICA EM UMA ABORDAGEM HISTÓRICA: UM ESTUDO PILOTO SOBRE IMPLICAÇÕES PARA A APRENDIZAGEM CONCEITUAL

## ANALYTICAL MECHANICS IN A HISTORICAL APPROACH: A PILOT STUDY ON IMPLICATIONS FOR CONCEPTUAL LEARNING

Rodrigo Weber 1 , Ricardo Avelar Sotomaior Karam², Leonardo Albuquerque Heidemann 3 , Eliane Angela Veit 4

- 1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul/Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física/rodrigo.weber@ufrgs.br
- 2 Københavns Universitet/Institut for Naturfagenes Didaktik/ricardo.karam@ind.ku.dk
- 3 Universidade Federal do Rio Grande do Sul/Instituto de Física/leonardo.h@ufrgs.br
- 4 Universidade Federal do Rio Grande do Sul/Instituto de Física/eav@if.ufrgs.br

## Resumo

O ensino de Mecânica Analítica é tradicionalmente pautado por um elevado formalismo matemático que tende a sacrificar a intuição e a compreensão conceitual. A abordagem postulacional, em que pese suas vantagens do ponto de vista da generalização do conhecimento, favorece o ocultamento das bases fenomenológicas das teorizações que proporcionam o vínculo indispensável entre teoria e realidade. Neste trabalho, apresentam-se os resultados de um estudo piloto, na forma de um curso de seis horas realizado com nove calouros da Universidade de Copenhague, onde foi explorada uma abordagem histórica da Mecânica Analítica, focada em discussões sobre os elementos que fundamentaram os princípios sobre os quais esse campo foi desenvolvido. Amparado na Teoria Antropológica do Didático, de Chevallard, e na noção de hipótese científica, de Lima e Heidemann, o estudo teve o objetivo de investigar as implicações, em termos de aprendizagem conceitual, de uma proposta de transposição didática pautada pela abordagem histórica de episódios centrais na construção das equações de Euler-Lagrange. Os resultados foram promissores, mostrando que os participantes construíram boas explicações sobre aspectos centrais da Mecânica Analítica, principalmente sobre o princípio de trabalho virtual.

Palavras-chave : Mecânica Analítica; Princípio do Trabalho Virtual; História da Física.

## Abstract

The teaching of Analytical Mechanics is traditionally based on a high mathematical level of formalism which tends to sacrifice intuition and conceptual understanding. The postulational approach, despite its advantages from the point of view of the generalization of knowledge, favours the concealment of the phenomenological bases of theories that provide the indispensable link between theory and reality. This paper presents the results of a pilot study, in the form of a six-hour course held with nine freshmen at the University of Copenhagen, in which a historical approach to Analytical Mechanics was explored, focusing on discussions about the elements that

underpinned the principles on which this field was developed. Supported by Chevallard's Anthropological Theory of the Didactic and Lima and Heidemann's notion of scientific hypothesis, the study aimed to investigate the implications, in terms of conceptual learning, of a proposal for didactic transposition based on the historical approach of central episodes in the construction of the Euler-Lagrange equations. The results were promising, showing that the participants constructed good explanations of central aspects of Analytical Mechanics, especially the principle of virtual work.

Keywords : Analytical Mechanics; Principle of Virtual Work; History of Physics.

## Introdução

O ensino de Mecânica Analítica frequentemente começa com a abordagem do "princípio" de D'Alembert (p. ex. GOLDSTEIN, 2014) ou do de Hamilton (p, ex., LANDAU; LIFSHITZ, 1976), demandando, em algum nível, que quem estuda o tema "acredite" nesses princípios, provocando um certo desconforto nos que desejam entender sua origem. Ainda que a palavra "princípio" sugira que esses conhecimentos são postulados, a análise histórica revela que eles foram construídos a partir de fundamentos fenomenológicos anteriores. Ao adotar uma abordagem postulacional, que ignora a lógica hipotético-dedutiva subjacente a conhecimentos fundamentais da mecânica, corre-se o risco de comprometer a própria razão de ser do conhecimento em questão (CHEVALLARD, 1996). Como abordar os aspectos conceituais da Mecânica Analítica sem prejudicar sua necessária formalização matemática?

Neste trabalho, entende-se que abordagens históricas se apresentam como alternativas promissoras. Por isso, realizamos um estudo movidos pela seguinte questão de pesquisa: Em que medida a abordagem histórica, centrada nas equações de Euler-Lagrange, promove a construção de conhecimentos conceituais fundamentais da Mecânica Analítica? Para respondê-la, baseados na Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Chevallard (1996), realizamos uma transformação da transposição didática das equações de Euler-Lagrange tradicionalmente realizada, visando resgatar a razão de ser dos conhecimentos associados à ela. Essa readequação foi pautada em um estudo bibliográfico baseado na noção de hipótese científica de Lima e Heidemann (2023), focado na elucidação das relações entre elementos da teorização da Mecânica Analítica e aspectos contextuais dos episódios históricos que contribuíram para a sua construção.

Para avaliar as potencialidades da transposição didática investigada, conduziu-se um estudo piloto com oito homens e uma mulher (média de idade de 21 anos) na Universidade de Copenhague, desenvolvido como um curso de seis horas dividido em três encontros. Todos os participantes eram calouros voluntários, atendendo ao convite do professor de uma disciplina que busca tratar de problemas pelo formalismo lagrangiano, em nível superficial, já no primeiro semestre do curso de Física. Embora as expectativas de participação tenham sido superadas (média de 30 alunos por aula), os resultados apresentados refletem apenas as respostas de nove participantes que preencheram o questionário de avaliação.

## Quadro teórico: a transposição didática a partir de uma abordagem histórica pautada pela noção de hipótese científica

A TAD é uma teoria focada no estudo da difusão dos conhecimentos (obras) (CHEVALLARD, 1996). Nela, a condição que permite a difusão das obras é a de que elas possuam uma razão de ser ( Raizon D'Être ), que está relacionada às perguntas: ' por que a obra foi criada? ' e ' pra que serve? ' (GARCIA; LEDÍNEZ; LERMA, 2023, p. 103). Como implicação, a transposição didática deve ser feita de forma a fornecer essas respostas para toda porção de conhecimento, desde aqueles bastante específicos, associados à resolução de um tipo de tarefa, até aqueles mais gerais, associados às teorias que geram, explicam e justificam as tarefas. A Mecânica Analítica é uma obra com razão de ser complexa, indissociável do seu contexto de produção e das concepções dos cientistas que a conceberam. Nesse sentido, a abordagem histórica pode fornecer os elementos para uma transposição didática de conhecimentos dotados de razão de ser.

Outro aspecto que deve balizar a transposição didática na acepção da TAD é o exercício da vigilância epistemológica, que diz respeito ao questionamento e reflexão, por parte do(a) professor(a), sobre o grau de adequação das transformações no conhecimento a ser ensinado em relação ao conhecimento de referência. A preparação de um curso, no formato de estudo piloto, é uma transposição didática partindo do saber a ser ensinado. O exercício da vigilância epistemológica nessa situação implica uma postura reflexiva e crítica por parte dos tutores do curso, tendo em vista a mitigar eventuais distorções e aproximar o conhecimento a ser ensinado em relação ao conhecimento de referência.

Neste estudo, a vigilância epistemológica foi exercida a partir de um estudo bibliográfico baseado na análise de livros e artigos (e.g., CAPECCHI, 2012; DUGAS, 1988) sobre a história da Mecânica Analítica. Destaca-se que a reconstrução de episódios históricos seguiu as recomendações da historiografia moderna (PIETROCOLA et. al., 2020), mas por questão de espaço não as descrevemos aqui. Nossa análise foi pautada na noção de hipótese científica de Lima e Heidemann (2023), que entendem que hipóteses podem ser compreendidas como afirmações que extrapolam as evidências empíricas. Entende-se que, além das crenças e valores pessoais, o contexto sócio-histórico específico em que o cientista viveu influencia as hipóteses por ele formuladas. Em relação à sua natureza, as hipóteses podem ser cosmovisivas, ontológicas e representacionais.

Hipóteses cosmovisivas abordam aspectos metafísicos ou epistemológicos, sem se referir a eventos específicos. Por exemplo, uma hipótese metafísica adotada por Lagrange foi que o fazer científico deve ser livre de concepções metafísicas . Esse pensamento é típico do contexto iluminista no qual Lagrange vivia, de valorização acentuada da razão. Já as hipóteses ontológicas são afirmações sobre a essência de um objeto ou sobre como ele deve se comportar, como, por exemplo, a de que a causa dos movimentos é imanente às equações (causalidade diferencial) que os descrevem , também assumida por Lagrange. Tal hipótese é decorrente das efervescentes discussões sobre causalidade e determinismo, em que se colocava em dúvida se as causas dos fenômenos precisam ser conhecidas para serem estudadas pela Ciência. Por fim, as hipóteses representacionais são adotadas ao criar uma representação esquemática de um fenômeno ou objeto para estudo à luz de uma teoria, envolvendo idealizações que preservam aspectos essenciais do fenômeno ou objeto. Talvez a hipótese (representacional) mais emblemática identificada na teorização de Lagrange seja a de que sistemas dinâmicos podem ser considerados estáticos quando sujeitos a forças aceleradoras fictícias que se opõem a sua tendência real de movimento .

## A reconstrução histórica de episódios da Mecânica Analítica na transposição didática investigada

Inicialmente, Lagrange acreditava que a dinâmica seria regida por um princípio de minimização, segundo o qual a natureza não cometeria excessos. Esse princípio, originalmente formulado por Maupertuis, ganhou notoriedade frente a

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outros princípios da mecânica, como o da conservação do momentum , da conservação da energia e do Princípio das Velocidades Virtuais - hoje conhecido como Princípio do Trabalho Virtual (PTV) -porque se apresentava como uma alternativa elegante e unificadora, que contemplava em uma única equação a descrição de fenômenos tanto da estática, quanto da dinâmica.

Eventualmente, Lagrange conseguiu desenvolver suficientemente a técnica do cálculo variacional para explorar as consequências do princípio de Maupertuis, derivando dele a equação que hoje se conhece como princípio de D'Alembert. A expressão foi reconhecida por Lagrange como uma versão modificada do PTV, um princípio que descrevia sistemas estáticos. Nesse ponto, Lagrange abandona o princípio do Maupertuis e passa a construir sua física assentada sobre o PTV, um princípio com longa história que tem raízes na descrição do equilíbrio da alavanca. Por isso, Lagrange dedica grande parte do Mécanique analytique à consolidação desse princípio como um pilar da estática.

A análise histórica evidenciou que a razão de ser do princípio de D'Alembert pode ser encontrada no PTV. A transposição didática buscou não apenas apresentar fatos históricos, como também dar sentido ao PTV, desenvolvendo suas consequências seguindo a metodologia de Lagrange em linguagem moderna. A transição para a dinâmica foi construída naturalmente pela modificação do PTV, como sugere Lagrange. Na sequência, partindo dessa versão modificada, deduz-se o 'princípio' de Hamilton, que é apresentado como um teorema. Uma vez que a formulação geral do PTV com multiplicadores de Lagrange já foi anteriormente alcançada, a forma geral das equações de Euler-Lagrange com esse artifício matemático é deduzida a partir do princípio de Hamilton.

Do ponto de vista do ensino do formalismo matemático, as principais vantagens de começar o estudo pelo PTV são: a) proporcionar uma introdução natural da técnica dos multiplicadores de Lagrange; b) tratar o equilíbrio estático de forma puramente analítica; c) gerar um princípio de minimização da energia potencial, como um prelúdio ao Princípio de Hamilton.

## Resultados

Ao final das três aulas do curso, os participantes responderam a sete perguntas delineadas para avaliar seu entendimento conceitual, principalmente. Na

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sequência, apresentam-se os resultados separados por questão. Em seguida, analisam-se as respostas dos estudantes.

- 1. O que você entende por 'deslocamento virtual'? -Todos os participantes responderam corretamente ser um deslocamento em um tempo fixo; dentre eles, seis adicionaram a condição correta de que o deslocamento não é arbitrário, mas sim um deslocamento possível, compatível com os vínculos.
- 2. Um deslocamento virtual pode ser dependente do tempo? Explique sua resposta com uma situação física. -Sete participantes afirmaram corretamente que sim, dando exemplos. Um participante disse que sim, porém não soube exemplificar. Um participante respondeu incorretamente que não é possível, já que o tempo é fixo em um deslocamento virtual.
- 3. Suponha que você tem a seguinte equação de vínculo: . 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑥 2 + 3𝑡𝑦 = 0 Qual seria o deslocamento virtual na coordenada y? -Apenas quatro participantes calcularam corretamente o deslocamento virtual. Quatro não conseguiram, apresentando respostas erradas, evidenciando dificuldades matemáticas na derivação da função. Um participante disse não saber como obter o deslocamento virtual a partir da equação de vínculo.
- 4. Para qual propósito Lagrange desenvolveu a técnica 'Multiplicadores de Lagrange'? Qual o significado físico dos multiplicadores? -Sete participantes responderam corretamente que a técnica serve para eliminar variáveis dependentes. Entretanto, apenas quatro estudantes responderam sobre o significado físico dos multiplicadores, dando respostas incorretas (três) ou parcialmente corretas (um).
- 5. Vimos que o PTV se aplica à estática e que, em algumas situações, uma lei de otimização pode ser derivada dele. Que situações físicas são essas? O que acontece quando essas situações não se aplicam? Seis participantes responderam corretamente que o princípio de otimização se aplica a forças conservativas. Um participante respondeu equivocadamente que a otimização ocorre quando o trabalho das forças de vínculo é zero; outro quando a energia potencial é constante; e outro não sabia responder.
- 6. Aprendemos que, para descrever a dinâmica, Lagrange modificou o PTV subtraindo "-m.a". Explique o raciocínio que levou Lagrange a fazer isso. Oito participantes responderam corretamente que o raciocínio de Lagrange envolvia a

conversão de sistemas dinâmicos em sistemas estáticos. Um participante não soube responder.

- 7. Quais situações físicas podem ser descritas pelo Princípio de Hamilton? E as situações que não podem ser descritas por ele, como lidamos com elas? -Oito estudantes responderam corretamente que o princípio de Hamilton é válido para forças conservativas. Sobre a segunda questão, apenas um estudante respondeu que usaria as leis de Newton. O restante das respostas se dividiu entre os que não souberam (dois), não responderam (três) ou que teriam que usar multiplicadores de Lagrange (três).

Além das questões específicas, os estudantes responderam a duas questões gerais: 1. ' do que você mais gostou no conteúdo do curso? ' -Para quatro estudantes, foram as deduções partindo de pressupostos fundamentais, como a lei da alavanca (usada para justificar o PTV); três estudantes mencionaram a abordagem histórica; três mencionaram as discussões filosóficas e metafísicas associadas aos princípios. 2. ' Houve algo particularmente difícil de entender ou que você sentiu que estava além de suas habilidades matemáticas? ' -As respostas foram majoritariamente negativas, apesar de que a maioria reconheceu que a demanda matemática foi alta. Dois estudantes disseram não ter compreendido a prova matemática dos multiplicadores de lagrange; um estudante disse não estar familiarizado com somatórios com índices duplos; um estudante disse ainda não ter compreendido o conceito de derivada total.

A análise das respostas dos participantes permite responder à questão de pesquisa originalmente formulada: Em que medida a abordagem histórica, centrada nas equações de Euler-Lagrange, promove a construção de conhecimentos conceituais fundamentais da Mecânica Analítica?

As evidências indicam que a abordagem teve impactos majoritariamente positivos. Destaca-se a boa compreensão: a) do conceito de deslocamento virtual; b) da generalização do PTV para a situação dinâmica; e da aplicabilidade dos princípios de otimização da física. Por mais que a maior parte dos estudantes tenha compreendido o papel dos multiplicadores de Lagrange na eliminação de variáveis dependentes, a compreensão do seu significado físico associado às forças de vínculo foi considerada insatisfatória. Ainda, alguns estudantes internalizaram a

noção incorreta de que multiplicadores de lagrange são necessários nas situações de forças não-conservativas.

## Considerações finais

O presente estudo contribui com reflexões sobre a transposição didática da Mecânica Analítica. Isso foi feito por meio da reconstrução de episódios históricos associados à equação de Euler-Lagrange, seguido da readequação da transposição didática tradicionalmente associada a esse conhecimento. O enfoque da transposição foi no desenvolvimento do Princípio do Trabalho Virtual (PTV), seguindo o caminho originalmente realizado por Lagrange. A análise dos resultados de um estudo piloto que visou testar a proposta mostrou resultados positivos do ponto de vista da aprendizagem conceitual, embora alguns desafios ainda precisem ser enfrentados, principalmente sobre o significado físico dos multiplicadores de Lagrange.

## Agradecimentos

Este trabalho foi financiado pelo programa PRINT/UFRGS (Edital: 002/2023).

## Referências

CAPECCHI, D. History of virtual work laws: a history of mechanics prospective. Springer-Verlag, Milão, 2012.

CHEVALLARD, Y. Conceitos fundamentais da didáctica: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica. In: BRUN, J. (Ed.). Didáctica das Matemáticas. 1. ed. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 115-152.

DUGAS, R. A history of mechanics. Dover Publications Inc., New York, 1988.

GARCIA, F. J., LENDÍNEZ, E. M.; LERMA, A. M. On the Problem Between Devices and Infrastructures in Teacher Education Within the Paradigm of Questioning the World. In: Chevallard, Y., et al. (Eds.). Advances in the Anthropological Theory of the Didactic, 2022, p. 103-112.

GOLDSTEIN, S. Classical Mechanics, 3rd ed., Pearson, 2014.

LANDAU, L.; LIFSHITZ, E. Mechanics, 3rd ed. Butterworth Heinemann, 1976.

PIETROCOLA, M.; RICARDO, E.; FORATO, T. History, Didactics, and the Transformation of Scientific Content. In: PIETROCOLA, M.; RICARDO, E.; FORATO, T. (Eds.). Science Education Research in Latin America. Brill Academic Publishers, 2020. p. 367-393.