UMA PROPOSTA DE INTERFERÔMETRO DE MICHELSON NO ENSINO DE FÍSICA MODERNA

1

## UMA PROPOSTA DE BAIXO CUSTO DE INTERFERÔMETRO DE MICHELSON NO ENSINO DE FÍSICA MODERNA

## A LOW COST MICHELSON INTERFEROMETER PROPOSAL FOR MODERN PHYSICS TEACHING

Gabriel A. Caritá , Matheus N. S. Silva , João T. Carvalho-Neto 1 2 3

1 Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho/Departamento de Estatística, Matemática Aplicada e Computação/gabrielcarita@gmail.com

## Resumo

O interferômetro de Michelson possui grande importância para o desenvolvimento da Física Moderna e é amplamente utilizado atualmente em aplicações científicas e tecnológicas. Apesar disso, todas as propostas experimentais de baixo custo com aplicação no ensino de Física (salvo alguns trabalhos de simulação) têm se limitado a aplicações óticas. Em função disso, propomos um interferômetro de baixo custo para observação das linhas espectrais de emissão de gases, cujos fundamentos estão alicerçados em conceitos básicos da Mecânica Quântica aplicada a átomos e moléculas. Para atingir esse objetivo, desenvolvemos um transdutor eletromecânico micro controlado para deslocar um dos espelhos do conjunto em três graus de liberdade, com tamanho de passo de 18 nm. Descrevemos o aparato experimental desenvolvido até o momento juntamente com os resultados experimentais preliminares. Os resultados mostramse promissores para serem aplicados nos laboratórios universitários de ensino de Física Moderna, bem como de forma mais simplificada e qualitativa para o Ensino Médio.

Palavras-chave : Interferômetro de Michelson, Física Moderna, Ensino de Física

## Abstract

Michelson interferometer is of great importance for the development of Modern Physics and is widely used today in scientific and technological applications. Despite this, all low-cost experimental proposals applied to Physics teaching have been limited to optical applications. Therefore, we propose a low-cost interferometer for observing the spectral lines of gas emission, whose foundations are based on basic concepts of Quantum Mechanics applied to atoms and molecules. To achieve this goal, we developed a micro-controlled electromechanical transducer to move one of the mirrors of the set in three degrees of freedom, with a step size of 18 nm. We describe the experimental apparatus developed so far together with the preliminary experimental results. The results proved to be promising and have the potential to be applied in undergraduate teaching laboratories, as well as in a more simplified and qualitative way for the high school level.

Keywords : Michelson Interferometer, Modern Physics, Physics Teaching

## Introdução

O ensino de Física Moderna na Educação Básica vem avançando nos últimos anos. Enquanto no início da década de 1990 esse era um conteúdo curricular ausente (TERRAZZAN, 1992), nos anos 2000 com o advento dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio já era possível encontrar livros didáticos e materiais de apoio ao professor tratando da Física do século XX. Ainda assim, segundo Machado e Nardi (2006), o ensino médio estava mais voltado para o ensino de Física Clássica, mesmo sabendo-se que a Física Moderna tenha propiciado revoluções em conceitos básicos da Física Clássica. Já era destacado por Valadares e Moreira (1998), que os estudantes conheçam os fundamentos científicos das tecnologias atuais para construírem a ponte entre o conhecimento estudado e a realidade, criando uma possível situação de ensino-aprendizagem.

Diversas publicações, vem mostrando ênfase à prática experimental, principalmente no ensino de Física, como apontam Pereira e Moreira (2017). Assim, confirmando que a abordagem prático-experimental é fundamental no processo de ensino-aprendizagem nas áreas de ciências naturais, como a Física. Nesse sentido, muitos trabalhos (VALADARES; MOREIRA, 1998; CAVALCANTE et. al., 1999; TAVOLARO et. al., 2017) vêm mostrando que é possível ensinar Física Moderna no Ensino Médio através da realização de experimentos utilizando, por exemplo, um CD como rede de difração para explorar conceitos importantes da Física, como os processos de interferência e difração, centrais para o entendimento do princípio da dualidade, os quais não são investigados de modo adequado no ensino classicista. Silva e Moraes (2015) também apontam a importância da introdução dos conceitos de Física Moderna no Ensino Médio e estudam abordagens de conceitos espectroscópicos e sua relevância para o ensino de ciências.

Motivados por essas aplicações espectroscópicas, pensamos em estender o uso do Interferômetro de Michelson (IM) no ensino de Física para além da exploração dos conceitos óticos - interferência, comprimento de coerência, caminho ótico, etc - levando-o para o campo da Física Moderna. Enquanto a sua aplicação histórica voltada para as bases da teoria da Relatividade mostram-se experimentalmente infactíveis no ambiente de ensino e com resultados experimentais desinteressantes, o seu uso espectroscópico na exploração das propriedades quânticas dos átomos e moléculas é mais acessível.

De fato, vários IM's comerciais utilizados em laboratórios universitários de ensino de ótica possuem qualidade suficiente para resolver linhas espectrais relativamente próximas, como é o caso do dubleto de sódio. Por outro lado, encontramos na literatura algumas propostas de construção de IM de baixo custo voltadas para a aplicação no ensino de Física. Entre elas, destacamos o trabalho de Catelli e Vicenzi (2004) como uma das mais eficazes e de mais baixo custo, em que os autores utilizam as superfícies convexas espelhadas de óculos de sol para simultaneamente fazer a reflexão e expansão dos feixes de luz provindos de um laser de diodo. Entretanto, não encontramos até o momento nenhuma proposta de baixo custo para o uso do IM como um espectrômetro ótico no ensino de Física, o que permitiria o seu uso na exploração de conceitos da Física Quântica.

Evidentemente, uma forma muito mais simples de produção de espectros óticos é através do uso de espectroscópios com redes de difração, as quais podem ser construídas facilmente com discos de CD ou DVD. Entretanto, o uso do IM para

essa finalidade amplia as suas possibilidades de uso, traz relação mais direta com o seu real uso técnico-científico atual e enriquece o ensino de conceitos da própria ótica física.

## Descrição do aparato

Como o nosso objetivo principal é demonstrar a possibilidade de construção de um IM de baixo custo para realização de análises espectroscópicas de fontes luminosas espectrais, neste trabalho focaremos apenas no desenvolvimento do sistema de deslocamento do espelho móvel. O projeto completo é mais amplo e envolve o desenvolvimento de um IM completo para ser impresso em impressora 3D, o qual será publicado em trabalho futuro. A figura 1 contém um diagrama com a configuração básica de um IM típico.

Figura 1 - Ilustração de funcionamento do IM usando a) projeção de luz laser e b) visualização da imagem de fonte espectral.Fonte: elaborado pelos autores.

<!-- image -->

A figura 1.a ilustra a configuração usando uma fonte de luz laser. Nesse caso, o feixe de luz incidente é monocromático, coerente e colimado. O feixe atravessa uma lente expansora simples (lente convergente), a qual possui a função de expandir a frente de onda e consequentemente facilitar a observação do padrão de interferência a ser formado. O feixe então é dividido em duas direções ortogonais entre si ao passar pelo divisor de feixe, que neste projeto é composto por uma placa de vidro semi espelhada. Um dos feixes percorre o caminho A, em que é refletido por um espelho fixo. O outro feixe percorre o caminho B, sendo refletido por um espelho que pode ser deslocado nanometricamente, o qual chamamos de espelho móvel. Após as duas reflexões, os feixes são recombinados no divisor de feixes, sendo uma parte direcionada ao longo do caminho C e projetada no anteparo. Caso o caminho ótico A seja exatamente igual ao caminho ótico B, espera-se a formação de um padrão de interferência homogêneo e completamente destrutivo, pois o feixe A sofre uma variação de fase de 180º ao ser refletido de um meio menos refringente (ar) para um meio mais refringente (substrato de vidro) no divisor de feixes. O contrário ocorre para o feixe B, o qual consequentemente não sofre variação de fase. Dessa forma, caso a diferença de caminho ótico entre A e B seja igual a um número par de meios comprimentos de onda do feixe, haverá interferência destrutiva (região escura). Caso seja um número ímpar, haverá interferência construtiva (região clara). Devido à lente expansora produzir uma frente de onda aproximadamente esférica, o padrão de interferência - caso exista diferença de caminho ótico entre os

feixes - será formado por anéis concêntricos claros e escuros intercalados (vide figura 1.a). Isso ocorre devido à diferença entre os raios de curvatura das frentes de onda devido à diferença de caminho ótico.

A figura 1.b ilustra a configuração usando uma fonte espectral. Diferentemente da fonte laser, a fonte espectral é extensa e os feixes não são colimados. Portanto, nesse caso é mais prático utilizar uma placa de material translúcido, a qual chamaremos de difusor, e observar a formação do padrão de interferência observando a imagem formada do difusor ao longo da direção C usando os próprios olhos ou uma câmera digital. Nessa configuração, a lente expansora é opcional pois a imagem formada do divisor é extensa o suficiente para observação do padrão de interferência. A dinâmica dos feixes é basicamente a mesma da descrita na configuração da figura 1.a.

Figura 2 - Ilustração do processo de construção do espectrograma no IM.

<!-- image -->

Fonte: elaborado pelos autores.

A figura 2 ilustra o processo pelo qual o IM pode ser utilizado para a obtenção da distribuição espectral da fonte luminosa utilizada. Ao deslocar o espelho móvel de uma pequena fração do comprimento de onda da fonte, observa-se o deslocamento do padrão de interferência, conforme descrito nos dois parágrafos anteriores. Dessa forma, grava-se o padrão de interferência com uma câmera digital ou uma webcam à medida que se desloca o espelho móvel em pequenos passos sucessivos. Selecionando uma região dos frames gravados - que pode ser a região do anel central - constrói-se um gráfico da intensidade dos pixeis em função do deslocamento do espelho móvel. Chamamos esse gráfico de interferograma e espera-se que, idealmente, para uma fonte monocromática, apresente um comportamento senoidal puro. É possível, portanto, inferir o comprimento de onda da fonte pela medição no interferograma de um ciclo completo de 360º da função seno ou de seus múltiplos.

Para fontes com dois ou mais comprimentos de onda distintos, o interferograma será formado pela soma das distintas funções seno. Combinações de funções seno com diferentes comprimentos de onda, amplitudes e fases iniciais são difíceis de serem decompostas visualmente diretamente no interferograma. Nesses casos, é conveniente utilizar a transformada de Fourier (TF) discreta para construção da distribuição espectral do interferograma, a qual chamaremos de espectrograma. Enquanto no interferograma a abcissa possui unidade de distância, a qual está associada ao comprimento de onda  da fonte, a unidade da abcissa do

espectrograma é o inverso da distância, estando associada ao número de onda da fonte, k = 2  /  . A figura 2 também ilustra o espectrograma resultante da TF aplicada à função seno pura, o qual corresponde a um único pico centrado no número de onda k da função senoidal. Para fontes espectrais em geral, haverá vários picos associados às funções senoidais no interferograma resultante. Os respectivos comprimentos de onda são obtidos da relação inversa  = 2  / k , em que k é a posição dos picos no espectrograma.

Sem entrar em detalhes sobre as propriedades da Transformada de Fourier, podemos perceber do exemplo acima que é essencial o controle fino do deslocamento do espelho móvel para produzir-se espectrogramas bem definidos e de boa resolução. Nos IM's comerciais utilizados nos laboratórios de ensino de Física é comum a utilização de um parafuso micrométrico acoplado a uma alavanca redutora para atingir-se tal controle. Entretanto, além desse controle ser manual, os elementos mecânicos do conjunto ótico necessitam ser bastante robustos e precisos para que o deslocamento do espelho seja suave a ponto de não destruir o padrão de interferência ao serem tocados (pois ruídos sub micrométricos são suficientes para total alteração do padrão). Esse rigor mecânico do conjunto encarece a fabricação do sistema experimental. Outro sistema de deslocamento utilizado em IM's comerciais mais simples envolve a dilatação térmica de uma lâmina metálica que sustenta o espelho móvel. A desvantagem nesse caso deve-se ao relativo baixo controle do deslocamento devido à relaxação térmica ser lenta.

Como controle do espelho móvel, propomos a utilização de eletroímãs que interagem com ímãs de neodímio fixados ao espelho móvel. A figura 3.a contém a disposição desse sistema. São usados três eletroímãs com o objetivo de permitir tanto o deslocamento translacional do espelho quanto a sua rotação, de forma a manter o feixe sempre alinhado ao longo do deslocamento. Os eletroímãs são constituídos por carretéis ocos de plástico com 10 mm de comprimento e 14 mm de diâmetro interno, sendo que foram enroladas aproximadamente 1100 voltas de fio de cobre esmaltado AWG 32 em cada carretel, resultando em um diâmetro externo de 19 mm. Dentro de cada carretel foi acondicionada uma espuma cilíndrica de material viscoelástico com dimensões semelhantes às dimensões internas do carretel (as espumas foram obtidas de protetores auditivos). Essa estrutura constituiu, portanto, a base fixa para o espelho móvel. O espelho móvel, em si, foi fixado sobre um disco plástico com 42 mm de diâmetro e 5 mm de altura. Sob esse mesmo disco foram fixados três ímãs cilíndricos de neodímio com 10 mm de diâmetro e 8 mm de espessura. Os ímãs foram colados de forma que cada um ficasse concêntrico ao respectivo eletroímã. Para evitar rotações indesejadas no conjunto móvel - devido ao torque gravitacional - preferimos dispor o IM de tal forma que a normal à superfície do espelho móvel ficasse paralela ao vetor aceleração gravitacional (vide figura 3.b). Com essa escolha, não foi necessário colar o disco móvel à base fixa, bastando repousar os ímãs da parte móvel sobre as espumas internas aos eletroímãs da parte fixa. O papel da espuma é permitir o equilíbrio e a restauração da posição do espelho ao alterar-se a corrente no eletroímã. Para controlar a corrente elétrica nos eletroímãs, utilizamos a placa micro controlada ESP32. Ela possui a vantagem de poder ser programada utilizando a mesma linguagem e interface gráfica da Arduino, além de possuir várias partes de hardware integradas, como módulos de comunicação WiFi e Bluetooth . Assim, através de uma interface web desenvolvida por nós, controlamos a quantidade de corrente enviada às bobinas pelo navegador de internet em um smartphone qualquer conectado via WiFi

com a ESP32. O comando era interpretado pela ESP32, a qual gerava pulsos digitais modulados (pulsos PWM) que, ao passarem por um filtro RC, eram aplicados à entrada de um amplificador operacional LM358. A saída do amplificador era conectada ao respectivo eletroímã. Esse sistema constitui um conversor de sinal digital-analógico (conversor DAC) que permite a aplicação de uma corrente contínua em cada eletroímã com resolução de até 18 bits. Conforme já dito, não entraremos em detalhes específicos do hardware e software . Maiores informações serão publicadas em trabalho futuro. O que é importante ressaltar aqui é que o sistema experimental é bastante compacto, sendo alimentado por uma única fonte de 5 V do tipo usado para celulares - e de baixo custo por utilizar componentes eletrônicos usuais de baixa potência e placa de hardware livre. Não é usado cabo de comunicação devido ao uso da interface WiFi.

Figura 3 -a) Foto do conjunto do espelho móvel. b) Foto do IM completo.Fonte: elaborado pelos autores.

<!-- image -->

Além do controle fino e suave do espelho móvel, uma condição essencial para a construção de bons interferogramas é o isolamento do IM das vibrações mecânicas do ambiente. Como dissemos, toda a montagem é de baixo custo, sendo utilizadas somente peças de plástico e uma base de madeira. Isso torna o nosso sistema ainda mais suscetível às vibrações do que os sistemas comerciais em estrutura metálica. Apesar disso, conseguimos mitigar totalmente o ruído mecânico normal do ambiente, adicionando em torno de 12 kg de massa à base do IM e suspendendo-o da bancada com 4 molas de aço (uma em cada ponta da base retangular) com constante elástica de aproximadamente 350 N/m cada uma. Além disso, foi colocada uma pequena espuma entre cada canto da base do IM e a bancada de sustentação, de forma a amortecer mais rapidamente as oscilações do sistema massa-mola.

## Resultados

Para testar o sistema de controle de deslocamento do espelho móvel, utilizamos uma lâmpada espectral de mercúrio. As linhas espectrais mais intensas do Hg neutro na faixa do visível e ultravioleta próximo são: (i) 365,0 nm, (ii) 404,7 nm, (iii) 435,8 nm, (iv) 546,1 nm e (v) 577,0 nm. A figura 4.a contém o interferograma do Hg e seu respectivo espectrograma medido usando o nosso sistema experimental na configuração da figura 1.b, sem nenhum filtro de cor. As figuras 4.b e 4.c contêm os resultados do mesmo procedimento, mas utilizando um filtro de cor para seleção da linha de 435,8 nm e 577,0 nm, respectivamente. Os filtros foram colocados na saída da fonte de Hg e antes do divisor de feixe. Nos três

casos foi realizada uma varredura de corrente nos eletroímãs de aproximadamente 1,7 mA em 200 passos, implicando em aproximadamente 8,5  A por passo. Para calibrar o sistema, atribuímos o pico central do espectro da figura 4.a à linha de 435,8 nm. Isso resultou em uma variação no caminho ótico de aproximadamente 36 nm por passo, ou 18 nm de deslocamento translacional do espelho móvel por passo. Consequentemente, a resposta do sistema eletromecânico foi de 2,1 mm/A. A medida da intensidade de cada ponto experimental dos interferogramas foi feita usando-se uma webcam conectada a um notebook . No vídeo resultante, foi selecionado o anel central do padrão de interferência que correspondeu a uma área circular com 6 pixeis de raio. A intensidade resultante foi obtida pela soma da intensidade dos pixeis na área selecionada.

Figura 4. Gráficos experimentais dos interferogramas (acima) e espectrogramas (abaixo) nas condições a) sem filtro, b) filtro de 436 nm e c) filtro de 577 nm.

Fonte: elaborado pelos autores

<!-- image -->

Dos três picos do espectrograma da figura 4.a, obtivemos os seguintes comprimentos de onda: (350 +/- 20) nm, (440 +/- 20)nm e (600 +/- 40), estando relacionados às linhas (i), (iii) e (v) elencados anteriormente. Os erros correspondem às larguras à meia altura de cada pico. A não observação das linhas (ii) e (iv) pode ser atribuída ao seguinte motivo: elas são relativamente menos intensas que suas linhas vizinhas mais próximas, podendo estar sobrepostas à aquelas devido à largura das linhas. O interferograma da figura 4.b mostrou-se bem mais ruidoso que o da figura 4.a, provavelmente devido à baixa transmitância do filtro utilizado. A partir dos picos observados no correspondente espectrograma, foram medidos os comprimentos de onda de (360 +/- 30) nm e (600 +/- 100) nm. O primeiro pico aproxima-se mais da linha (i) do que da linha (iii) que era esperada pelo uso do filtro de 436 nm. Além disso, foi observado um forte sinal da linha (v) que era para ter sido totalmente absorvida pelo filtro. Não sabemos ao certo o motivo dessas discrepâncias, podendo estar associadas à baixa relação sinal/ruído dessa medida em particular. O interferograma da figura 4.c mostrou-se menos ruidoso que o da figura 4.b, resultando em um espectrograma com apenas um pico, do qual resultou no comprimento de onda de (650 +/- 70) nm, estando na faixa da linha (v) como era esperado pelo filtro utilizado.

## Conclusão

Os resultados obtidos foram bastante promissores. De modo geral, observamos uma boa correlação entre os comprimentos de onda medidos e os

esperados para a fonte espectral de Hg. Para aumentar a resolução espectral de forma a resolver mais linhas do Hg, seria necessário estender o intervalo de varredura de forma a medir mais oscilações no interferograma. O que nos impediu de fazer isso foi a resposta não linear das espumas dos eletroímãs ao ultrapassarmos 8  m de deslocamento. No momento, estamos avaliando formas de evitar esse comportamento usando o material visco elástico e, ao mesmo tempo, testando outros tipos de materiais. E para aumentar a relação sinal/ruido é necessário repetir várias varreduras na mesma faixa de deslocamento do espelho e/ou permanecer mais tempo adquirindo a imagem em cada posição de varredura do espelho - procedimentos, esses, que estão sendo testados no momento. Pretendemos adquirir uma lâmpada espectral de hidrogênio para medir seus espectrogramas e correlacioná-los com algumas das linhas de Balmer, as quais são deduzidas do modelo de Bohr. Dessa forma, contemplaríamos plenamente o objetivo central deste trabalho.

Avaliamos que a viabilidade de uso e/ou confecção nos laboratórios de ensino universitários é bastante grande por se tratar de uma proposta de baixo custo (em torno de 200 reais sem considerar a lâmpada espectral e o notebook). Para aplicação no Ensino Médio é necessária a realização de transposição didática dos conteúdos subjacentes além de parceria com a universidade para disponibilização ou visitação do equipamento. Por fim, destacamos que este trabalho se vale de novas tecnologias que estão se tornando mais acessíveis financeiramente e tecnicamente (e.g. impressão 3D, placas microcontroladas) e que, assim como os lasers de diodo e CD's na década de 1990, podem abrir um novo horizonte de possibilidades para expandir o planejamento e desenvolvimento de experimentação no ensino de Física nos moldes de trabalhos como de Valadares e Moreira (1998).

## Referências

CATELLI, Francisco; VICENZI, Scheila. Interferômetro de Michelson. Cad. Bras. Ens. Fís. , v. 21, p. 350, 2004.

CAVALCANTE, M. A. et al. Inserção de Física Moderna no Ensino Médio: Difração de um feixe laser. Cad. Cat. Ens. Fís. , v. 16, n. 2, p. 154, 1999.

MACHADO, D.; NARDI, R. Construção de conceitos de f sica moderna e sobre a ı ı natureza da ciência com o suporte da hiperm dia. ı ı Rev. Bras. Ens. Fís. , v. 28, n. 4, p. 473, 2006.

PEREIRA, Marcus Vinicius; MOREIRA, Maria Cristina do Amaral. Atividades práticoexperimentais no ensino de Física. Cad. Bras. Ens. Fís. , v. 34, n. 1, p. 265, 2017.

SILVA, H. R.; MORAES, A. O estudo da espectroscopia no ensino médio através de uma abordagem histórico-filosófica: possibilidade de interseção entre as disciplinas de química e física. Cad. Bras. Ens. Fís. , v. 32, n. 2, p. 378, 2015.

TAVOLARO, C. et al. Instrumentação para o ensino de física moderna: Um kit de baixo custo para espectroscopia. In: XX SNEF . 2013. ISBN978-85-89064-25-5.

TERRAZZAN, Eduardo Adolfo. A inserção da Física Moderna e Contemporânea no ensino de Física na escola de 2º grau. Cad. Cat. Ens. Fís. , v.9, n.3, p. 209, 1992.

VALADARES, E.; MOREIRA, A. M. Ensinando física moderna no segundo grau. Cad. Cat. Ens. Fís. , v. 15(2), p. 121, 1998.