MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA: POTENCIALIDADES DE UMA ATIVIDADE NA FORMAÇÃO DE FÍSICOS-EDUCADORES

## MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO DE FÍSICA: POTENCIALIDADES DE UMA ATIVIDADE NA FORMAÇÃO DE FÍSICOS-EDUCADORES

## MATHEMATICAL MODELING IN PHYSICAL EDUCATION: POTENTIALITIES OF AN ACTIVITY IN THE TRAINING OF PHYSICAL EDUCATORS

## Jefferson José dos Santos 1 , Graciely Rocha Braga 2

1 Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia /Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física, jeffersonsants\_@hotmail.com

2 Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia/Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas, graciely.braga@uesb.edu.br

## Resumo

Apresentamos o desenvolvimento e resultados de uma pesquisa de caráter qualitativo realizada com futuros professores de Física, tendo por objetivo analisar uma atividade mediada pela modelagem matemática como estratégia didáticometodológica para um ensino e aprendizagem de conhecimentos físicos pautada na problematização, experimentação, construção e generalização de conceitos pertinentes a compreensão de situações reais. A atividade foi desenvolvida com estudantes do 7º semestre do curso de Licenciatura em Física da Universidade Estadual do sudoeste da Bahia no âmbito da disciplina Estágio Supervisionado em Física I. Os alunos montaram e experimentaram um sistema de polias para resolver um problema relativo à força resultante e o funcionamento de máquinas simples, apresentando ao final um modelo matemático para explicar o fenômeno observado. A atividade desenvolvida possibilitou a construção relevante dos conhecimentos científicos, levando os alunos a fomentar modelos, soluções e generalizações do conhecimento construído, permitindo que problemas reais pudessem ser discutidos e assimilados por meio da articulação entre fenômeno físico e modelo matemático.

Palavras-chave : Modelagem Matemática, Ensino de Física, Atividade Experimental, Formação de Professores.

## Abstract

We present the development and results of a qualitative research conducted with future Physics teachers, aiming to analyze an activity mediated by mathematical modeling as a didactic-methodological strategy for a teaching and learning of physical knowledge based on problematization, experimentation, construction and generalization of concepts relevant to understanding real situations. The activity was developed with students of the 7th semester of the Physics Degree course at the State University of Southwest Bahia within the supervised Internship in Physics I. The students set up and experimented with a pulley system to solve a problem related to the resulting force and the functioning of simple machines, presenting at the end a mathematical model to explain the observed phenomenon. The activity developed enabled the relevant construction of scientific knowledge, leading the students to foster models, solutions, and generalizations of the built knowledge, allowing real problems

to be discussed and assimilated through the articulation between physical phenomenon and mathematical model.

Keywords : Mathematical Modeling, Physics Teaching, Experimental Activity, Teacher Training.

## Introdução

A Ciência possibilita o entendimento do mundo em que vivemos por meio de uma perspectiva que a concede características próprias de contemplar e compreender os fenômenos naturais, compartilhada pela comunidade que as constitui; trata-se de uma investigação humana imbricada às exigências culturais, sociais e econômicas de cada época. A Física, por exemplo, apresenta leis, teorias, princípios e modelos para descrever e representar o comportamento da natureza, nesse processo, os modelos matemáticos exercem importante papel na Física, pois estes expressam suas teorias (LAZADA et al, 2006).

A Matemática traduz o fenômeno físico através de uma linguagem simbólica, viabilizando um conjunto de ferramentas que possibilitam o tratamento lógicomatemático dos dados obtidos na observação e experimentação. Cabe ressaltar que a produção do conhecimento científico não se restringe a estes parâmetros, ainda que desta construção façam parte. O problema também é intrínseco à produção de conhecimento físico, '[...] para um espírito científico, todo conhecimento é resposta a uma questão, se não houver questão, não pode haver conhecimento científico' (BACHELARD, 1997, apud DELIZOICOV, 2001, p.130).

Ao considerar esses aspectos sobre a Ciência e a produção do conhecimento científico, acreditamos que o ensino de Ciências, em especial da Física, deve privilegiar o ensino de modelos matemáticos como linguagem relevante para compreender fenômenos físicos presentes na realidade dos sujeitos aprendizes. A problematização de situações contextualizadas que favorecem a participação dos alunos pode vir a configurar práticas pedagógicas que superem a memorização de equações vazias de significado, que não parece exercer influência na vida dos estudantes.

Apresentamos o desenvolvimento e resultados de uma pesquisa de caráter qualitativo realizada com futuros professores de Física, tendo por objetivo analisar uma atividade mediada pela Modelagem Matemática como estratégia didáticometodológica para um ensino e aprendizagem de conhecimentos físicos pautada na problematização, experimentação, construção e generalização de conceitos pertinentes a compreensão de situações reais.

## Pressupostos Teórico-Metodológicos

Os modelos matemáticos são representações ou interpretações da realidade, são menos complexos do que a realidade e, por muitas vezes, são utilizados para prever e explicar fenômenos com alto grau de precisão. O ato de modelar surge, geralmente, de alguma situação problema, raramente um problema individual, mas um problema que afeta um grupo de sujeitos que vivencia uma realidade igual ou similar, por isso é importante que o ensino de Física privilegie temáticas que

evidenciem as situações-problema experimentadas pelos estudantes e pela comunidade em que eles vivem (HEIN; BIEMBENGUT, 2007).

Verificamos diferentes perspectivas de Modelagem Matemática na educação (ARAÚJO, 2007), mas as diferentes interpretações apresentam como característica comum a concepção de que a Modelagem Matemática consiste em utilizar a matemática para compreender situações reais, como afirma Bassanezi:

A modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. (...) a modelagem pressupõe multidisciplinariedade. E, nesse sentindo, vai ao encontro das novas tendências que apontam para a remoção de fronteiras entre as diversas áreas de pesquisa BASSANEZI (2002, p.16).

Segundo Batista e Fusinato (2015), no ensino de Física a modelagem matemática pode instigar os alunos a investigarem problemas físicos que descrevem situações reais, aproximando o conhecimento ensinado na escola do cotidiano dos alunos. Os autores ainda mencionam que a pesquisas sobre Modelagem Matemática no ensino de Física, em sua maioria, utilizam a modelagem computacional por meio de softwares. No ensino de Física, em que a relação entre o fenômeno físico e o modelo matemático é apresentada, geralmente, de forma desarticulada com enfoque na memorização de fórmulas, a Modelagem Matemática pode possibilitar a construção de leis físicas por meio da observação, experimentação, interpretação e resolução de problemas.

A resolução de problemas é importante no processo de ensino e aprendizagem, mas aqui, queremos enfatizar e privilegiar problemas que devem possuir '[...] o potencial de gerar no aluno a necessidade de apropriação de um conhecimento que ele ainda não tem e que ainda não lhe foi apresentado pelo professor' (DELIZOICOV, 2001, p.133), possibilitando o levantamento e a discussão das concepções prévias que os alunos trazem consigo a partir da problematização do conteúdo num diálogo com a participação de todos. Nesse entendimento, o professor possui o papel de mediador entre o sujeito do conhecimento (estudante) e o objeto do conhecimento (conhecimentos científicos), problematizando as situações, aguçando as explicações contraditórias, evidenciando limitações do conhecimento explicitado e levando o aluno a romper com o conhecimento de senso comum para o conhecimento científico.

A Modelagem Matemática pode vir a ser uma viável estratégia didáticometodológica nas aulas de Física para intepretação e compreensão de situações reais numa abordagem problematizadora, favorecendo a exploração e compreensão de conhecimentos da Física que permitam aos alunos perceber e lidar com os fenômenos naturais e tecnológicos, presentes tanto no cotidiano mais imediato quanto na compreensão do universo distante, a partir de princípios, leis e modelos por ela construídos (BRASIL, 1999).

## Metodologia

A atividade foi desenvolvida com estudantes do 7º semestre do curso de Licenciatura em Física da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia no âmbito da disciplina Estágio Supervisionado em Física I. Essa tem a função de garantir ao futuro professor sua inserção, supervisionada, na prática profissional nas séries finais do Ensino Fundamental em instituições educacionais. A atividade foi desenvolvida pela

professora da disciplina em colaboração com um professor de Física e Matemática da educação básica.

Os instrumentos para coleta dos dados gerados durante a atividade foram questionários, fotografias e registros das observações dos pesquisadores. Para este trabalho foram analisados os questionários respondidos pelos futuros professores a fim de verificarmos as potencialidades e limitações da atividade para o ensinoaprendizagem de conhecimentos da Ciência/Física na perspectiva da Modelagem Matemática. A análise dos dados utilizada neste trabalho foi a descritiva, em virtude de que são constituídos principalmente pelas falas dos professores em formação. Segundo Fazenda, Tavares e Godoy (2015, p. 113) 'o ato narrativo possibilita a reflexão sobre o processo investigado [...]', os dados foram interpretados com base no referencial teórico.

Aspirávamos por desenvolver uma atividade que pudesse discutir situações reais por meio de modelos matemáticos, mas que esses modelos pudessem ser construídos pelo próprio estudante por meio de relações e interpretações oriundas da experimentação. Assim, optamos por planejar uma atividade experimental com polias para construir os conhecimentos acerca de forças e máquinas simples. A atividade foi iniciada com uma questão do Exame Nacional do Ensino Médio, Figura 1, os alunos foram orientados a ler e discutir a questão.

Figura 1 : questão 82 da prova azul do ENEM-2016

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Fonte: disponível em:&lt;http://download.inep.gov.br/educacao\_ basica/enem/provas/2016 /CAD\_ENEM\_2016\_DIA\_1\_01\_AZUL.pdf&gt; Acesso em 20 Fev.2020

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Após, às seguintes perguntas foram realizadas pelo professor: É comum observarmos em uma obra, pedreiros e/ou um guindaste utilizando polias para erguer diferentes 'pesos'. Como o número e a combinação de polias influência na força aplicada para erguer o 'peso'? Em relação à situação descrita na questão do ENEM, o arranjo e quantidade de polias tiveram a mesma influência? Alguns alunos tentaram responder os questionamentos. Considerando que os alunos da graduação já conheciam os conceitos de força resultante, peso, tração e atrito, entre outros pertinentes à resolução do problema, nos debruçamos em investigar e responder as questões através da construção de um sistema de polias similar ao ilustrado na questão do ENEM, utilizando a Modelagem Matemática como estratégia norteadora da organização dos conhecimentos. Para isto, os estudantes foram conduzidos a uma

das quadras da universidade e foi lhes fornecido pedaços de corda, uma balança de gancho (balança utilizada em peixaria), cinco polias e um saco contendo 10 quilogramas de areia.

- O experimento foi montado em uma das traves da quadra. A escala da balança foi transformada em medidas de força expressa em newtons. Em seguida, foi pedido para que eles construíssem o sistema intercalando o acréscimo de polias com medições na balança. A primeira polia foi presa a barra superior da trave, e a balança foi fixada no piso da quadra e em uma das extremidades da corda.

Ao sustentar o saco de areia, verificaram que a medida na balança era igual ao peso relativo aos 10 quilogramas de areia, em seguida, os alunos incluíram no sistema uma polia apoiada somente na corda, identificando-a como tipo móvel já que esta podia mover-se na direção vertical, a marcação na balança passou a ser igual a metade do peso da areia. Ao adicionar as polias moveis verificaram respectivamente as medidas: um quarto, um oitavo e 1/16 do peso da areia. Alguns alunos sinalizaram que no acréscimo de mais uma nova polia móvel o valor observado para a balança deveria ser metade do peso medido anteriormente. A figura a seguir evidencia o sistema montado.

Figura 2: sistema de polias completoFonte: arquivo pessoal

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Por fim, algumas questões foram apresentadas com o intuito de conhecer o sistema como um todo. Indagamos sobre o suposto desaparecimento de parte do peso original da areia, a diminuição do deslocamento vertical das polias móveis ao erguer o saco de areia e a influência do peso das polias e cordas nas medidas realizadas. Os alunos foram orientados a registrar os dados obtidos em uma tabela e em sala de aula construir um gráfico que pudesse relacionar o número de polias com o peso medido na balança. Reunidos em grupos, foi proposto que os estudantes estabelecessem relações entre as grandezas estudadas atribuindo 𝑛 como número de polias, 𝑃 o peso da areia e 𝐹 a força resultante verificada com o uso da balança de gancho graduada em newtons.

Ao verificarem as relações de proporcionalidades entre as grandezas os alunos modelaram algumas equações, por exemplo, 𝐹 = 𝑃 𝑛 , o modelo satisfez as medidas de 𝐹 para a primeira e segunda polia adicionada, mas foi incoerente para as demais medidas. Após outra análise e discussões sobre os dados, os alunos perceberam que a força 𝐹 era inversamente proporcional a uma exponencial de base dois, concernente com o gráfico obtido que possuía um aspecto de função exponencial, a nova equação passou a ser 𝐹 = 𝑃 2 (𝑛-1) , considerando que não há

distinção entre as polias. No final eles apresentaram a seguinte equação: 𝐹 = 𝑃 2 𝑛 , considerando que 𝑛 deve ser o número de polias do tipo móvel. Com o modelo matemático construído, os alunos retomaram o problema inicial e obtiveram a resposta da questão do ENEM.

## Resultados e Discussão

Ao final da situação de ensino, os alunos receberam um questionário contendo três questões, a fim de que eles pudessem expressar suas conclusões e avaliações da proposta de ensino. Destacamos a seguir, as falas de alguns estudantes (E) em relação às perguntas presentes no questionário.

- 1 - As situações de ensino na perspectiva da modelagem matemática podem auxiliar o aluno na compreensão das leis e princípios da física? Justifique.
- E1: A meu ver sim, pois muitas vezes as famosas fórmulas matemáticas são simplesmente jogadas ao aluno como uma receita pronta para uso. Ao realizar a modelagem matemática a partir de algum fenômeno físico os alunos podem perceber que as equações nada mais são do que descrições daquele fenômeno, no qual a matemática dá espaço ao raciocínio lógico, e o ato de decorar as equações se torna um processo de construção das mesmas.

Segundo Pietrocola (2001;2002) a Matemática tem papel relevante no ensino de Física, tanto quanto tem no processo de produção, enquanto linguagem estruturante das ideias físicas sobre o mundo, no entanto, as atividades escolares acabam por se restringir às aplicações de formalismos matemáticos e aos exercícios numéricos extraídos das teorias. Verificamos na fala do estudante (E1) que a Modelagem Matemática oportunizou a construção de um modelo matemático significativo, contextualizado, que exerce um importante papel para compreensão de fenômenos naturais e desenvolvimento de conceitos da Física.

- 2 - Quais foram as contribuições da atividade envolvendo polias para o ensino e aprendizagem das máquinas simples ou sistemas envolvendo forças?
- E2: Muitas vezes, mesmo se tratando de fenômenos clássicos, os conteúdos de Física se mostram bastante abstratos. Mesmo um sistema envolvendo máquinas simples pode ser difícil de imaginar e mais difícil ainda entender os seus resultados. No caso das polias obtivemos um interessantíssimo resultado em que ao adicionar polias móveis no sistema a força necessária para movê-lo caía pela metade do que precisávamos antes [...]. Com esta atividade os alunos podem conferir através de suas medidas o que de fato acontece e como as grandezas se relacionam, além disto, desenvolver o modelo matemático para o sistema em questão, fazendo uso da linguagem matemática na representação do fenômeno da Física na prática e seguindo seu próprio raciocínio lógico.

A fala acima evidencia o papel da Modelagem Matemática na construção dos conhecimentos de Física, fornecendo ao estudante instrumentos para o desenvolvimento de um raciocínio lógico e autônomo, ancorado na experimentação e observação. O ensino da ciência deve propiciar meios para que os estudantes adquiram a habilidade de estruturar seu pensamento para apreender o mundo (PIETROCOLA, 2002).

- 3 - Quais as possíveis potencialidades e limitações de ensinar conceitos da física ancorados na modelagem matemática em aulas da educação básica? Explique .
- E4: Como potencialidades, é possível verificar que o discente acaba participando de maneira mais ativa em atividades que relacionam a prática, capacitando-os no ato de pensar de forma crítica e reflexiva diante das situações cotidianas relacionando com o tema/conteúdo da disciplina, ou seja, o professor dá autonomia a esse aluno. Pode-se obter um aspecto interdisciplinar e transversal, ou seja, podendo contribuir para além da Física abordando conteúdos de outras disciplinas. Em relação às limitações é possível apontar aspectos como a falta de infraestrutura de algumas escolas e baixa carga horária de Física.

Por meio da resposta do estudante (E4), inferimos que Modelagem Matemática possibilitou a participação ativa dos alunos, despertando o interesse destes e concedendo autonomia para pensar e agir sobre determinado problema, bem como desenvolveu nos estudantes uma consciência crítica diante das situações do dia-a-dia, e mostrou-se uma viável estratégia para práticas interdisciplinares. Bassanezi (2002), define a modelagem matemática como um processo dinâmico, que transforma problemas reais em problemas matemáticos, interpretando suas soluções com a linguagem do mundo real, além de que o desenvolvimento do gosto pela matemática é facilitado quando movido por estímulos provenientes do mundo real.

- O tempo disponível nas aulas de Física e a infraestrutura da escola são indicados pelos alunos como limitações da didática. Salientamos que o professor também deve dispor de tempo para o planejamento das atividades e estas podem ser mediadas por experimentos virtuais (BATISTA; FUSINATO, 2015). No final, por meio das falas dos alunos, percebemos uma melhor compreensão das equações, grandezas e fenômenos físicos, não apenas teoricamente, mas na aplicação destes para explicar problemas da prática.

## Considerações Finais

A criação de modelos com vistas a representar fenômenos é inerente ao ser humano (LEVY; SANTO, 2007), na Física, os modelos matemáticos são utilizados para expressar leis e representar a realidade. No ensino de Física a Modelagem Matemática pode oportunizar práticas de ensino em que o aluno participe ativamente do processo de construção de conhecimento se tornando sujeito do seu pensar, interpretando e entendendo o mundo que o cerca por meio da matemática.

A atividade desenvolvida com futuros professores de Física empregando a Modelagem Matemática como uma estratégia didático-metodológica para o ensino de fenômenos físicos, possibilitou a construção relevante dos conhecimentos científicos, por meio de analogias, experimentação e interpretações que levaram os alunos a fomentar modelos, soluções e generalizações do conhecimento construído. A

atividade também permitiu que problemas reais pudessem ser discutidos e assimilados por meio da articulação entre fenômeno físico e modelo matemático.

A abordagem dos conhecimentos sobre forças e máquinas simples por meio da dinâmica evidenciou para os estudantes que as 'fórmulas' podem ser ensinadas de maneira significativa, combinada e vinculada a situações cotidianas, rompendo com a ideia de uma Física que se restringe à memorização de fórmulas desarticuladas e vazias de significado. Essencialmente, o desenvolvimento da atividade com futuros professores de Física, possibilitou apontar para estes a necessidade da formação de educadores críticos que privilegiem práticas de ensino compromissadas com a formação de um cidadão para o mundo atual, capaz de compreender informações, julgar e propor alternativas a diferentes situações-problema e intervir positivamente na sociedade.

## Referências

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BASSANEZI, R.C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia . São Paulo. Contexto, 2002.

BATISTA, M.C; FUSINATO, P.A. A Utilização da Modelagem Matemáticas como Encaminhamento Metodológico no Ensino de Física. Rencima .v.6, n. 2, p. 86-96, 2015.

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HEIN, N.; BIEMBENGUT, M.S. Sobre a Modelagem Matemática do Saber e Seus Limites. In: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. L. (Org.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais . Recife: SBEM, 2007. p. 33-47.

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PIETROCOLA, M. A Matemática como Estruturante do Conhecimento Físico. Caderno Catarinense de Ensino de Física : v.19, n.1 p. 89-109, 2002.

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