ELEMENTOS DA MATRIZ DISCIPLINAR DE THOMAS KUHN EM UMA ANÁLISE DA LINGUAGEM MATEMÁTICA EM LIVROS DIDÁTICOS DE FÍSICA: A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

## ELEMENTOS DA MATRIZ DISCIPLINAR DE THOMAS KUHN EM UMA ANÁLISE DA LINGUAGEM MATEMÁTICA EM LIVROS DIDÁTICOS DE FÍSICA: A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

## ELEMENTS OF THOMAS KUHN'S DISCIPLINARY MATRIX IN AN ANALYSIS OF MATHEMATICAL LANGUAGE IN PHYSICS TEXTBOOKS: THE FIRST LAW OF THERMODYNAMICS

William Borella¹, Henrique Cesar da Silva²

1 UFSC/PPGECT/william\_borella@hotmail.com

2 UFSC/CED/MEN e PPGECT/henriquecsilva@gmail.com

## Resumo

Este trabalho tem como tema a linguagem matemática no ensino de física, tomando como recorte empírico a primeira lei da termodinâmica em livros didáticos do ensino médio e a epistemologia de Thomas Kuhn como referencial teórico. Sua noção de matriz disciplinar (MD), que contempla os conceitos de generalizações simbólicas, exemplares, modelos e valores, e uma noção epistemológica de interpretação, possui grande potencial analítico sobre pensar o funcionamento da linguagem matemática da física no seu ensino. Apresenta-se a análise comparativa de dois livros do PNLD 2018. Através da abordagem kuhniana entende-se que a textualização dos conceitos está intrinsicamente relacionada à linguagem matemática da física e à educação científica, tanto no nível básico quanto no de formação de físicos. Observaram-se diferenças na forma como as generalizações simbólicas aparecem nos livros didáticos: no modo como aparecem interpretadas, na relação com os exemplares e na relação com os modelos. Diferenças relacionados à estruturação dos capítulos nos livros.

Palavras-chaves: Linguagem matemática; Livros didáticos; Matriz disciplinar.

## Abstract

This paper has as a theme the mathematic language in the physics teaching, having the empirical cut from the first law of themodynamic in high school textbooks and Thomas Kuhn's epistemology as a theoretical framework. His notion of disciplinary matix, which includes concepts of symbolic generalizations, samples, models and values, and a notion of an epistemologycal interpretation, which has a great analytical potential about the thinking of the mathematics language performance in the physics teaching. Presenting the comparative analysis from two PNLD's 2018 books. Throughout the Kuhnian's approach, it is understood that the writing of the concepts is closely related from the physics' mathematical language to the scientific education, from the basic levels to the physicists' qualifications. Diferences are observed in the shape as the symbolic generalizations appear in the textbooks: the way in which they appear construed, in ralation to the specimens and models. Diferences related to the books' chapter organization.

Keywords: Mathematic language, textbooks, disciplinary matrix.

## Introdução

O presente artigo teve como objetivo analisar livros didáticos no que tange às relações que esses possuem com a linguagem matemática da física à luz dos pressupostos teóricos de Thomas Kuhn, particularmente, de três dos componentes da matriz disciplinar, as generalizações simbólicas, os exemplares e os modelos e suas relações. Embora haja poucas pesquisas ainda acerca do tema, já há contribuições importantes.

Almeida (1999) já considerava a linguagem matemática da física como envolvida na representação da realidade, assim como a linguagem comum, defendendo a importância de um trabalho contínuo e paralelo com ambas as linguagens no ensino de física. A questão da linguagem matemática é fundamental pois diz respeito, entre outros aspectos, à questão do acesso ao conhecimento científico.

Pietrocola (2002) e Karam (2012), por exemplo, baseiam-se na perspectiva que a linguagem matemática possui um caráter estruturante na física e que ela, com suas especificidades participa do processo de construção da ciência não apenas como mera ferramenta de comunicação e expressão, mas estruturando o pensamento com o qual a física compreende a realidade. Ataíde (2012) por sua vez, optou por uma abordagem com base teórica na psicologia cognitiva concluindo que existe uma forte relação entre a visão que o estudante tem do papel da matemática na física e a resolução de problemas.

Ambos os autores tiveram como material empírico a análise de aulas no ensino superior. Karam (2012) baseou suas análises em aulas dadas por um professor experiente de graduação, já Ataíde (2012) planejou um estudo de caso com diversas atividades que envolvia a resolução de problemas e trabalhou com turmas do curso de licenciatura em física, ou seja, a análise foi de suas próprias aulas.

Dentre inúmeras possibilidades no trabalho pedagógico com relação à linguagem matemática, o livro didático segue sendo um importante recurso pedagógico e metodológico que participa da construção de processos educativos.

Nesta perspectiva, qual o papel dos livros didáticos de física no processo pedagógico da matematização da física como componente de conhecimento físico?

Para a tentativa de responder essa pergunta, vamos nos basear na teoria epistemológica proposta por Thomas Kuhn. Este autor estabelece que a produção do conhecimento físico está intimamente ligada à pedagogia científica, no sentido de que os processos de sua produção estão determinados pela formação do cientista e viceversa (KUHN, 1978). De fato, ideias deste autor já vêm sendo mobilizadas para pensar esta temática (Ballestero, 2014; Mannrich, 2014).

A partir do conceito de matriz disciplinar, principalmente nos elementos que ela abarca (generalizações simbólicas, exemplares e modelos) (KUHN, 1978, 2011), buscou-se a realização de uma análise comparativa dos textos de dois livros didáticos no que diz respeito à primeira lei da termodinâmica. A partir das considerações do autor sobre a linguagem da física e sua relação com a educação científica a nível superior no processo de formação futuros praticantes da ciência normal, foi possível

estabelecer parâmetros para análise de livros didáticos da educação básica, pois, entende-se que há profundas semelhanças entre estes e os manuais de ensino superior.

Espera-se que este tipo de análise possa fornecer subsídios para ações pedagógicas de mediação de leituras e uso de livros didáticos em sala de aula.

## A matriz disciplinar e a linguagem matemática da física

Segundo Kuhn, um paradigma pode ser definido como um conjunto de práticas e valores partilhados por uma comunidade científica, ou seja, por aqueles atores responsáveis por praticar a ciência normal (KUHN, 2011).

A noção de Matriz Disciplinar (MD) foi desenvolvida por Kuhn para tentar esclarecer algumas ponderações levantadas pelos críticos a respeito do paradigma. Segundo Kuhn (p.226, 2011):

Para nossos propósitos atuais, sugiro 'matriz disciplinar': 'disciplinar' por que se refere a uma posse comum aos praticantes de uma disciplina particular; 'matriz' por que é composta de elementos ordenados de várias espécies, cada um deles exigindo uma determinação mais pormenorizada.

A MD conta com pelo menos quatro elementos-chave: exemplares, generalizações simbólicas, modelos e valores (KUHN, 2011). Nesta primeira aproximação, os enfoques se darão nos três primeiros elementos, ou seja, os exemplares, as generalizações simbólicas e modelos.

A relação pressuposta neste trabalho entre a linguagem matemática da física no seu ensino e a mobilização de elementos da MD de Kuhn para sua análise se baseia na percepção que o autor teve sobre a produção do conhecimento científico ter uma relação com a educação científica, ou seja, a formação dos futuros praticantes da ciência normal. O autor percebe a ênfase na utilização de manuais nessa formação acadêmica, ou seja, textos com características específicas, buscando atribuir a eles o lugar onde o produto da ciência é disposto para a formação de novos integrantes das comunidades científicas (KUHN, 2011). Esses manuais por sua vez têm as características dos componentes da MD. Além disso, as noções de generalizações simbólicas, de exemplares e modelos estão articuladas entre si e a uma concepção de linguagem de natureza epistemológica, revelando-se assim, um referencial com grande potencial analítico para pensar a física, seus textos e seu ensino.

Segundo Kuhn (p.227, 2011):

Rotularei de 'generalizações simbólicas' um tipo importante de componente do paradigma. Tenho em mente aquelas expressões, empregadas sem discussão ou dissensão pelos membros do grupo [...] Falo dos componentes formais ou facilmente formalizáveis da matriz disciplinar. Algumas vezes são encontradas ainda sob forma simbólica: f = m.a ou I = V/R. Outras vezes são expressas em palavras: 'os elementos combinam-se numa proporção constante aos seus pesos' [...] Se não fossem expressões geralmente aceitas como essas, os membros do grupo não teriam pontos de apoio para a

aplicação das poderosas técnicas de manipulação lógica e matemática no seu trabalho de resolução de enigmas.

- O segundo, e mais importante componente da MD, são os exemplares que, na definição dada por Kuhn '[...] são soluções de problemas aceitas pelo grupo como, no sentido usual do termo, paradigmáticas (KUHN, p. 316, 2011)'.

A partir dessa relação o estudante em formação passa a conceber a natureza em um processo intermediado pelos exemplares com o auxílio das generalizações simbólicas e a posse comum da interpretação. De acordo com Kuhn, a interpretação é o processo que possibilita que as generalizações simbólicas, e, entre elas, aquelas expressas em linguagem matemática, tenham sentido em relação ao mundo, ou seja, adquiram sentido epistemológico, pois é ela quem faz a ligação com a referência empírica (KUHN, 2011). Assim, para Kuhn, a interpretação, ou seja, a relação entre linguagem e mundo, é adquirida pelo futuro físico, pela prática recorrente e ostensiva de uso de generalizações simbólicas em concomitância com os exemplares.

Para que as generalizações simbólicas não sejam apenas 'como expressões num sistema puramente matemático (KUHN, p.317, 2011)' elas precisam ter sentido físico ou seja, as generalizações simbólicas são interpretadas quando fazem referência com o mundo real. E esse processo de referenciação se dá pelos exemplares e pelos desenvolvimentos de formulações específicas da generalização aplicadas a cada caso que represente uma situação em que a natureza se comporta daquela maneira.

- O conceito de Modelos proposto por Kuhn se estabelece na relação entre as generalizações simbólicas e exemplares de modo a organizar os compromissos partilhados pelos membros de uma comunidade científica perante um determinado conhecimento, segundo Kuhn (p.229, 1978):

Entre outras coisas, fornecem ao grupo suas analogias ou metáforas preferidas ou permissíveis, Desse modo auxiliam a determinar o que será aceito como uma explicação ou como uma solução de quebra-cabeça e, inversamente, ajudam a estabelecer a lista dos quebra-cabeças nãosolucionados e a avaliar a importância de cada um deles.

A concepção de Kuhn sobre a estruturação do conhecimento científico por meio dos exemplares e da generalização simbólica pode, assim, fornecer uma abordagem da problemática da matematização da física no seu ensino, com grande potencial analítico para a compreensão dos processos pedagógicos ligados aos conhecimentos físicos. O processo de interpretação está presente, mas não é explícito nem explicitado, aparecendo como meros processos de manipulações matemáticas com o objetivo de se encontrar um resultado numérico.

## Análise dos livros: resultados e discussões

A análise se deu sobre os livros Física em Contexto (PIETROCOLA et al, 2016) e Ser Protagonista (VALIO et al, 2016). A justificativa da utilização de dois livros

se dá pela diferença de abordagem da Primeira Lei da Termodinâmica entre eles. O livro Ser Protagonista adota uma postura mais clássica e que comumente vemos em livros didáticos de ensino básico, a Primeira Lei da Termodinâmica está em destaque, no início de um capítulo e segue a sequência de definição verbal, equação (definição matemática), exercícios resolvidos e lista de exercícios. Já o livro Física em Contexto é estruturado de forma que a Primeira Lei da Termodinâmica seja um tópico em meio ao capítulo que dá ênfase às máquinas térmicas.

O livro Física em Contexto em sua estruturação aborda o capítulo em que fala sobre a Primeira Lei da Termodinâmica de forma a trazer os exemplares descritos por Kuhn em forma de casos particulares (diferente tipos de motores), antes da generalização simbólica da Primeira Lei da Termodinâmica na forma matemática ser aplicada a um caso específico (o do um motor a combustão) (fig. 1). Ou seja, a generalização simbólica em linguagem matemática aparece já interpretada.

Nessa perspectiva, ambos os livros adotam como Modelo (KUHN 1978) o modelo cinético-molecular da matéria como princípio organizacional da Primeira Lei da Termodinâmica. No livro Ser Protagonista logo nas primeiras páginas do primeiro capítulo do livro há a caracterização de que para entender os conceitos é necessário entender o modelo cinético-molecular da matéria, da mesma forma que ocorre com o livro Física em Contexto, apesar que nesse segundo não está disposta com essas palavras, mas, com exemplos de tipos de energia, onde na energia térmica é aquela que está associada à vibração de átomos ou moléculas.

No caso do Livro Ser Protagonista a Primeira Lei da Termodinâmica se apresenta no início do capítulo sobre as Leis da termodinâmica e é apresentada pela equação matemática (fig. 2) de forma mais genérica, ou seja, não interpretada e posteriormente, no decorrer do livro são apresentados os exemplares ne forma a problemas e aplicações.

A Primeira Lei da Termodinâmica 1 é uma das formas em que se encontra o princípio da conservação de energia (que pode ser expresso também por outras generalizações simbólicas), tem relação com o modelo cinético-molecular para a matéria, e relaciona as grandezas de quantidade de calor, variação de energia interna e trabalho. Ela expressa matematicamente a ideia de que para um sistema termodinâmico, a energia transferida (calor) ao/ou do sistema pode se transformar em variação de energia interna (quando aumenta ou diminui sua temperatura) e/ou em trabalho (quando o volume aumenta ou diminui). Ou seja, a energia do sistema sempre se conserva, trabalho e calor são equivalentes e a energia interna é uma função que depende apenas dos estados inicial e final do sistema.

As análises demonstram uma relação entre o conceito da Primeira Lei da Termodinâmica e a teoria Kuhniana no sentido de que se estabelecem na educação básica características parecidas com as do treinamento que um estudante de educação científica a nível superior tem durante sua carreira.

Nessa perspectiva, a utilização das generalizações simbólicas e dos exemplares no processo pedagógico tem a ver com a interpretação do mundo real pela qual se conduz o sujeito aprendiz.

A Primeira Lei da Termodinâmica pode ser, portanto, considerada uma generalização simbólica, expressa tanto verbal quanto matematicamente. Eis (fig. 1 e 2) como ela aparece em cada um dos livros analisados.

## Figura 1: Equação da primeira lei da termodinâmica no livro didático Física em Contexto.

Fonte: FÍSICA EM CONTEXTO, vol.2, 2016, p.165.

Figura 2: Equação da primeira lei da termodinâmica no livro didático Ser Protagonista .Fonte: SER PROTAGONISTA: Física, 2º ano, p. 94, 2016.

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Como se pode observar, os dois livros possuem uma generalização simbólica, contudo, elas se mostram diferentes. Primeiramente há uma diferença nos símbolos utilizados. O livro Física em Contexto (Figura 1) possui um simbolismo ' τ ' (letra grega tau) para representar o trabalho realizado, enquanto o livro Ser Protagonista (figura 2) utiliza da letra 'W'. Além da diferença simbólica da equação, também nota-se uma diferente organização de variáveis: na fig. 1 a variável isolada é a quantidade de calor 'Q' e na figura 2 a variável isolada é a variação de energia interna 'ΔU'. Além disso, é possível observar a disposição delas em meio ao texto. Na fig. 1 a equação aparece entre parênteses no fim de uma frase onde são destacadas em negrito as variáveis da Primeira Lei da Termodinâmica estudada. Já na figura 2 há uma clara posição de destaque para a equação. Outro ponto importante é que na figura 1 e 2 é possível ver presente não somente a linguagem matemática no formato de equação matemática

como ela representada de forma verbal, ao se utilizar do termo 'aumenta' e 'diferença' que faz referência a uma operação de adição e subtração respectivamente.

Nota-se ainda um destaque para o que Kuhn descreve sobre as generalizações simbólicas. Os livros acima citados possuem diferenças que aqui chamaremos de generalizações simbólicas interpretadas e generalizações simbólicas não interpretadas. A figura 1 ao fazer referência à Primeira Lei da Termodinâmica faz uso de uma referência empírica que é um motor à combustão com o termo 'fornecida ao sistema pelo combustível' e 'Essa expressão é válida não somente para as máquinas térmicas', ou seja, a generalização simbólica já está interpretada no sentido de fazer ligação com o mundo real (uma máquina térmica). No entanto, na fig. 2 o livro se refere à Lei de forma inicial, ou, mais genérica, ou seja, ela não está interpretada, não se refere a nenhuma aplicação. Isso só aparecerá posteriormente neste livro.

Para Kuhn (1978), as generalizações simbólicas são um conjunto de expressões que são empregadas sem discussão pela comunidade e que dão sustentação para o trabalho do cientista em descobrir resoluções de problemas estilo quebra-cabeça. Como observado nas figuras acima, essas expressões simbólicas podem se apresentar em diferentes formatos e arranjos, tanto na forma equacional como verbalmente. Embora, mesmo verbalmente, o pensamento matemático esteja presente.

Apesar das diferenças das generalizações simbólicas dos livros Física em Contexto e Ser Protagonista , ambos ainda buscam trazer exemplos compartilhados pela comunidade científica.

No caso da figura 2 ela está em consonância com a Primeira Lei da Termodinâmica, a generalização simbólica representa a base equacional que servirá como ponto de partida para a resolução dos problemas (exemplares) que se encontram no livro didático (KUHN, 1978).

No caso da figura 1 as generalizações simbólicas se estabelecem no plano científico de forma a seguir um formalismo que pode ser aplicado a cada caso: (p. 317 e 318, 2011):

Nas ciências, as generalizações simbólicas se comportam, em geral, de modo bem diferente, são mais esboços de generalizações do que generalizações, são formas esquemáticas cuja expressão simbólica detalhada varia de aplicação em aplicação. Para o problema da queda livre, f = m.a transforma-se em m.g = md²/dt².

Nessa perspectiva, é válido ressaltar que as generalizações simbólicas de cunho mais amplo -figura 2- são de conhecimento de toda a comunidade científica. E é através delas que se inicia o processo de resolução do problema proposto, contudo, elas passam a ser interpretadas quando aplicadas a essas situações específicas adquirindo o caráter científico (epistemológico) por fazer relação com o mundo real.

Essa competência de ter a interpretação das formas esquemáticas e aplicálas a problemas reais são adquiridas, segundo Kuhn (1978) através da educação científica sob a repetição na prática de resoluções de problemas, onde, por similaridade o estudante adquire a capacidade de entender os problemas e interpretar as generalizações simbólicas aos exemplares propostos nos livros. '(KUHN, p.323, 2011) O estudante descobre uma forma de ver que seu problema é semelhante a outro que já viu antes.' Modelos, eventualmente participam deste processo. No caso

da Primeira Lei da Termodinâmica, o modelo cinético-molecular em um papel fundamental.

## Conclusão

Apesar de Kuhn não estar articulando sua teoria com o ensino básico, mas sim, sobre a produção do conhecimento científico que no desenvolvimento da sua teoria acaba por entrar no campo da formação dos cientistas, ou seja, o campo pedagógico da física, sua teoria revela-se com grande potencial para análise da linguagem matemática na física e no seu ensino. Nessa análise-piloto foi possível observar as relações entre os componentes da MD no livro didático de física do ensino básico, como as generalizações simbólicas que estão no livro didático e sua relação com os exemplares e modelo, e o papel da interpretação para que elas tenham sentido físico, ou seja, o modo como conectam linguagem da física, incluindo a matemática e realidade.

## Referências bibliográficas

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