A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA NOS LIVROS DO ENSINO SUPERIOR

## A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA NOS LIVROS DO ENSINO SUPERIOR

## THE SECOND LAW OF THERMODYNAMICS IN TEXTBOOKS OF UNIVERSITY EDUCATION

## Debora Coimbra 1 , Olival Freire Junior 2

1 Universidade Federal de Uberlândia/ Instituto de Ciências Exatas e Naturais do Pontal/ debora.coimbra@ufu.br

2 Universidade Federal da Bahia/ Instituto de Física/ olivalfreire@gmail.com

## Resumo

Processos espontâneos têm uma direção preferencial e essa irreversibilidade está associada ao conceito de entropia. A universalidade da segunda lei da termodinâmica permite abordar sistemas reais, considerando determinadas idealizações. Mapear como a termodinâmica é tratada em livros didáticos amplamente utilizados no ensino superior é o foco desse trabalho. A teoria antropológica do didático foi utilizada como ferramenta de análise. Nas obras analisadas foi possível identificar aspectos históricos da termodinâmica no século XIX, cobrindo desde os trabalhos de Carnot até as sistematizações de Clausius, Kelvin e Planck, na formulação de uma termodinâmica fenomenológica, e de Maxwell e Boltzmann, na fundamentação estatístico-microscópica destas leis. As representações diagramáticas dos ciclos, assim como os exemplos de sistemas físicos, são cuidadosamente trabalhadas, mas, nem sempre os potenciais termodinâmicos. Apontamos a necessidade de atualização do saber a ensinar tendo em vista as propostas de fundamentação da segunda lei ao longo do século XX e a termodinâmica estocástica.

Palavras-chave : Livros-texto; Segunda Lei da Termodinâmica, Entropia, Transposição Didática

## Abstract

Spontaneous processes have a preferential direction and this irreversibility is related to the concept of entropy. The universality of the second law of thermodynamics allows to address real systems, considering certain idealizations. The focus of this work is to map how thermodynamics is presented in textbooks widely used in higher education. The Anthropological Theory of Didactics was used as a tool for analysis. In the textbooks analyzed, it was possible to identify historical aspects of thermodynamics in the 19th century, covering from the works of Carnot to systematizations of Clausius, Kelvin and Planck, in the formulation of phenomenological thermodynamics, and Maxwell and Boltzmann, in the statisticalmicroscopic basis of these laws . The diagrammatic representations of the cycles, as well as the examples of physical systems, are carefully worked out, but not the thermodynamic potentials. We point out the need to update the knowledge to be taught in view of the attempts to establish the second law throughout the 20th century and stochastic thermodynamics.

Keywords : Textbooks; Second Law of Thermodynamics; Entropy; Didactic Transposition.

## Introdução

No Ensino Superior, os livros didáticos têm a função de promover uma visão organizada do conhecimento científico consensual a uma determinada comunidade. No ensino de Física, muitas vezes, esses são elaborados por personalidades de destaque nas pesquisas acadêmicas nas diversas subáreas com foco na formação de novos pesquisadores e foram se impondo pela tradição. Nas instituições de ensino superior brasileiras, apesar das reformulações curriculares periódicas, podemos perceber que as fichas das disciplinas, em muitos casos, carecem de atualização e é possível identificar em seus conteúdos programáticos, cópias de sumários de livros-texto padrão. Kuhn sintetiza a visão predominante sobre a formação em ciências naturais:

Via de regra, os alunos de graduação e de pós-graduação em Química, Física, Astronomia, Geologia ou Biologia, assimilam o conteúdo substantivo de seus campos de livros escritos especificamente para estudantes. [...] Esses estudantes tampouco são encorajados a ler os clássicos de seus campos - nos quais poderiam descobrir outros modos de considerar os problemas discutidos nos manuais, como também problemas conceitos e padrões de resolução que suas futuras profissões já há muito descartaram e substituíram. Em vez disso, os diversos manuais com que os alunos de fato se confrontam apresentam diversos assuntos, mas não, como em muitas das ciências sociais, diversas abordagens de um mesmo campo de problemas. Até livros que concorrem à adoção num mesmo curso diferem em exigências e detalhes pedagógicos, mas não em substância ou estruturação conceitual (2011, p. 245).

Ao longo de décadas, alguns conteúdos curriculares adquiriram certa estabilidade, em função de um consenso tácito sobre as razões e formas para seu ensino. A teoria da transposição didática (CHEVALLARD apud ALMOULOUD, 2015) é uma ferramenta apropriada para a análise do processo de como o saber científico (saber sábio, entendido como o conhecimento científico organizado) é reelaborado e ressignificado como um saber didatizado (saber a ensinar, aquele dos programas e livros didáticos), visando identificar relações entre os sujeitos, instituições e o saber. Para que seja possível a transposição didática, os conteúdos sofrem uma reelaboração e uma reorganização, sendo pensados em uma concepção lógica e sem muita preocupação com as origens histórico-filosóficas dos conceitos. Nesse trabalho, os sujeitos considerados são os autores de livros didáticos voltados para o ensino superior e o saber foco de interesse é a Segunda Lei da Termodinâmica.

Desdobramentos e sistematizações da teoria, inicialmente no âmbito da educação matemática, levaram à teoria antropológica do didático. Almouloud (2015) propõe uma metodologia de análise de livros didáticos considerando os dois tipos de praxeologia associadas a um dado saber: a organização matemática e a organização didática. Estamos interessados em mapear como livros didáticos amplamente utilizados no ensino superior apresentam a organização do conteúdo (o correspondente à organização matemática) para os temas de interesse. Mesmo considerando que a organização didática é crucial para o sucesso do processo de ensino-aprendizagem, por sua extensão, não será foco nesse trabalho.

## Aspectos metodológicos

Os livros selecionados são manuais de ampla disponibilidade nas bibliotecas das instituições de ensino superior nacionais, também disponíveis em livrarias e distribuidores de livros usados. Outro critério para a escolha foi considerar se a obra ou o autor apresentavam algum tipo de premiação. O Quadro I apresenta as obras analisadas e as láureas.

Quadro I: Obras analisadas, premiações recebidas pela obra ou pelo autor.

Na perspectiva da teoria antropológica do didático (ALMOULOUD, 2015), a análise ecológica de um objeto do saber é organizada com base nos conceitos de habitat (o lugar no currículo que o objeto ocupa e seu ambiente conceitual) e de nicho (função desse objeto no todo). Na próxima seção, identificamos a organização dos conceitos de termodinâmica nos livros relacionados no Quadro I focando especificamente em entropia, descrevendo como é apresentada e com qual finalidade. O habitat está nos cursos de física básica para cientistas e engenheiros, nos segundos ou terceiros semestres do início da graduação. O nicho deste é desenvolvido pela conexão com as ideias de irreversibilidade e de desordem.

## Escopo da Termodinâmica e Apresentação da Segunda Lei

Theory of Heat é um compêndio de termodinâmica básica (MAXWELL, 1902), com intenções didáticas. Segundo Nóbrega, Freire Jr. e Pinho (2013), a escrita dessa obra foi iniciada quando Maxwell revisou, a pedido de Tait, o livro de autoria do último sobre termodinâmica e a sua história. A organização do tratado é discriminada em seu Prefácio:

O objetivo deste livro é exibir a conexão científica dos vários passos pelos quais nosso conhecimento dos fenômenos envolvendo o calor foi elucidado. O primeiro desses passos é a invenção do termômetro, o que possibilitou o registro e a comparação de temperaturas. O segundo passo é a medição de

https://www.aapt.org/Programs/awards/oersted.cfm

quantidades de calor, ou calorimetria. Toda a ciência do calor está baseada em Termometria e Calorimetria e, quando essas operações são apreendidas, podemos avançar para o terceiro passo, que é a investigação das relações entre as propriedades térmicas e mecânicas das substâncias que constituem o objeto da Termodinâmica. A totalidade dessa parte do tema depende da consideração da energia intrínseca de um sistema de corpos [...] esses processos, pelos quais a energia torna-se indisponível como fonte de trabalho, são classificados juntos, sob a denominação de Dissipação de Energia, e compõem a próxima divisão do livro. O último capítulo é dedicado à explicação de vários fenômenos por meio da hipótese de que os corpos são constituídos de moléculas, de cujo movimento resulta o calor desses corpos. (MAXWELL, 1902, pp. v-vi)

Essa proposta de organização é observada em diversas obras voltadas ao assunto em nível superior, principalmente aquelas de caráter introdutório foco desse trabalho. Isto se explica pela enorme influência de Maxwell sobre seus contemporâneos ou pelo histórico do surgimento desta teoria. Afinal, uma história da termodinâmica no século XIX, deve cobrir desde os trabalhos de Carnot até as sistematizações de Kelvin e Planck, passando pelos trabalhos seminais de Thomson e Clausius, na formulação de uma termodinâmica fenomenológica, e de Maxwell e Boltzmann, na fundamentação estatístico-microscópica destas leis.

## Chaves (2001, p. 16) define a termodinâmica como

uma ciência ímpar dentro da física. Sua estrutura lógica é muito distinta daquela envolvida na mecânica, no eletromagnetismo, na mecânica quântica etc. [...] As leis da termodinâmica têm um caráter totalmente distinto, e não são leis de movimento. A descrição que a termodinâmica faz dos sistemas físicos é sempre macroscópica.

O Capítulo 36 de [1] (Quadro I) segue então definindo equilíbrio termodinâmico, térmico e escalas termométricas. Seguindo a mesma sequência histórica da obra de Maxwell (1902), aborda calorimetria e dilatação térmica. Discute a primeira lei da termodinâmica no Capítulo 37 e a segunda é introduzida no Capítulo 38, também seguindo o roteiro histórico de abordar as máquinas térmicas e o ciclo de Carnot. A segunda lei propriamente dita é tratada na seção 38.4, através da afirmação da inexistência de máquina térmica ou refrigerador perfeitos (motocontínuo de segunda espécie), ou seja, uma máquina que transforme em trabalho todo o calor retirado de uma fonte; ou que transporte calor da fonte fria para a fonte quente sem receber trabalho externo (CHAVES, 2001, p. 47). Explicita na Seção 38.5 o caráter universal do rendimento das máquinas reversíveis como decorrência da segunda lei e a consequente definição da temperatura termodinâmica sem fazer referência a nenhum tipo de sistema físico específico. A entropia é definida na Seção 38.6 e associada à irreversibilidade na seção seguinte, na qual a segunda lei é apresentada segundo a formulação entrópica.

A teoria cinética dos gases é sintetizada no Capítulo 39, no qual a associação da entropia a um aumento da desordem do sistema consta na Seção 39.4, apresentando a formulação de Boltzmann para a grandeza referida. Destaca nas seções subsequentes que a desordem em nível microscópico não é unicamente configuracional, citando a necessidade de quantificação, de forma definida e precisa, da desordem cinética. A termodinâmica analítica de Gibbs é sintetizada no Capítulo 40 -O estado de equilíbrio, pela introdução gradativa dos potenciais termodinâmicos, justificada pela análise de sistemas em que algumas variáveis termodinâmicas são mantidas constantes. O estado de equilíbrio de um sistema isolado é definido pelo autor como aquele em que sua entropia é máxima. O

Capítulo 41 - Introdução à Física Estatística, inicia explicitando o escopo da teoria, traçando um breve histórico da sua invenção no final do século XIX e início do século XX. Em suas palavras:

A mecânica estatística é uma das ferramentas teóricas mais importantes para a pesquisa em física na atualidade. Com efeito, a enorme maioria dos sistemas de interesse para a ciência e tecnologia modernas são macroscópicos no sentido termodinâmico, contendo um número muito grande de partículas, e por isso não podem ser tratados em termos de equações de movimento na forma prescrita pelo paradigma newtoniano. Os métodos probabilísticos introduzidos pela mecânica estatística são a forma encontrada para buscar a compreensão do comportamento desses sistemas em termos das propriedades das suas partículas constituintes. [...] um sistema é considerado macroscópico (no sentido termodinâmico) quando contém um número de átomos suficientemente grande para que as leis da termodinâmica e da mecânica estatística possam ser aplicadas a ele (CHAVES, 2001, P. 88).

Identificamos, nesse excerto, que apesar de ser a única obra a mencionar explicitamente a universalidade da segunda lei, esta é restrita a sistemas com muitos corpos, nos quais uma descrição estatística pode ser adotada. Dentre as hipóteses fundamentais apresentadas logo nas seções iniciais do capítulo, está o postulado das probabilidades iguais, a priori , segundo o qual todos os microestados de mesma energia de um sistema em equilíbrio são igualmente prováveis. O autor destaca que esse postulado está embutido na fórmula de entropia de Boltzmann e que, se não for válido, a entropia assim definida não é equivalente à definida pela segunda lei da termodinâmica. O caráter extensivo da grandeza implicaria, ainda, na inalteração do número de microestados acessíveis. Na sequência, o autor deduz a lei zero da termodinâmica (lei do equilíbrio térmico) a partir do postulado referido, em combinação com a extensividade da energia e da entropia, aborda de forma simples o ensemble canônico e aplica o formalismo a sistemas de interesse.

No segundo volume da obra [2] (Quadro I), Nussenzveig (2004) discute a termodinâmica e noções de mecânica estatística nos Capítulos 7 a 11, se valendo da organização preconizada por Maxwell mencionada. As considerações a respeito do domínio de validade da teoria, tendo em vista a natureza estatística das suas leis, já são indicadas na introdução do Capítulo 7, 'A validade destas leis resulta do fato que se aplicam a sistemas formados por um grande número de elementos' (NUSSENZVEIG, 2004, p. 157). Ao diferenciar as descrições macroscópica da microscópica, o autor sintetiza:

Inicialmente, vamos partir da formulação empírica das leis, sem nos preocuparmos com a explicação microscópica [...] Partindo de um pequeno número de leis básicas, a termodinâmica leva a muitas consequências importantes, de grande generalidade. Uma vez obtida a explicação microscópica das leis básicas, não é preciso procurá-las para cada uma das consequências. [...] Com a segunda lei da termodinâmica, aparece pela primeira vez na física a 'seta do tempo', ou seja, o fato de que existe uma direção espontânea de ocorrência dos fenômenos, que é geralmente irreversível. A conexão entre a segunda lei e a irreversibilidade é um dos problemas mais profundos da física (NUSSENZVEIG, 2004, p. 157).

A segunda lei é introduzida no Capítulo 10 da referida obra, abordando inicialmente o caráter unidirecional de processos macroscópicos. Na sequência, os enunciados de Clausius e Kelvin e a equivalência entre eles são apresentados, com menção explícita ao moto-contínuo de segunda espécie (p. 208). Os teoremas de Carnot e de Clausius são detalhados e a entropia é introduzida como função de

estado e a função do fator 1 / T , no qual T é a temperatura, é explorada. Segue-se aplicações: o cálculo da entropia para processos reversíveis e irreversíveis e a formulação entrópica da segunda lei.

A teoria cinética dos gases como preconizada no livro de Maxwell é apresentada no Capítulo 11, a partir de um apanhado histórico dos desenvolvimentos da química, referentes à teoria atômica, culminando no teorema de equipartição de energia. As aplicações para sólidos e gases finalizam o capítulo. Noções de mecânica estatística são tratadas no Capítulo 12, abordando a distribuição de velocidades de Maxwell e o movimento browniano. Na Seção 12.5 (NUSSENZVEIG, 2004, p. 290), o autor explora a interpretação probabilística da entropia, e na subsequente, a seta do tempo termodinâmica, pois,

- [...] para sistemas macroscópicos que não estejam em equilíbrio termodinâmico [...] a entropia do sistema tende a aumentar. Note que essa é uma afirmação probabilística, ou seja, não podemos afirmar que a entropia sempre aumenta a cada instante, porque pode haver flutuações. Entretanto, como vimos, para um sistema macroscópico, flutuações de amplitude apreciável são extremamente raras.
- O autor continua a seção abordando o 'paradoxo da reversibilidade' de Loschmidt e de como se desvencilhar deste. Finaliza analisando a seta do tempo cosmológica e, apesar de ultrapassarem o escopo da obra, o autor considera

As teorias cosmológicas baseiam-se em grandes extrapolações do domínio de validade comprovado das leis físicas conhecidas, e os dados de observação, além de escassos, estão sujeitos a incertezas consideráveis, de modo que é preciso encarar com cautela os argumentos apresentados. Na física quântica, a preparação e observação de um sistema introduzem novos elementos de irreversibilidade. Não podemos abordar aqui esses e outros aspectos do problema da seta do tempo, que continua sendo um dos mais profundos e fascinantes da física (NUSSENZVEIG, 2004, p. 293).

No prefácio da quinta edição do seu Física , Resnick, Halliday e Krane (2011) destacam que o material sobre termodinâmica foi reelaborado para quatro capítulos, um a menos que na edição anterior, incorporando num único capítulo (o vigésimo segundo) noções de teoria cinética e mecânica estatística. A termometria e a dilatação térmica são tratadas no Capítulo 21 de [3] (Quadro I). O Capítulo 24 analisa as duas formas equivalentes de definir a entropia, seja pela abordagem macroscópica, discutindo a impossibilidade de máquinas térmicas e refrigeradores perfeitos; seja a microscópica, envolvendo o cômputo dos modos de distribuição dos átomos ou moléculas que compõem o sistema, explorado nas duas últimas seções do capítulo. Os autores apontam a necessidade de uma definição de desordem apropriada ao processo em estudo, para o fim de associação com a de entropia.

Não há diferença significativa em termos dos objetos físicos referentes aos capítulos de termodinâmica tratados em [3] em relação ao Física II, de Young e Freedman [4]. Os objetos matemáticos e as representações dos ciclos, assim como os exemplos de sistemas físicos, são cuidadosamente detalhados neste último. Em conformidade com o apontado por Lucena e Chiappin, esta abordagem centrada nos ciclos é conveniente pois

[...] as informações relevantes sobre o sistema são obtidas, por um lado, a partir de aspectos macroscópicos, como a variação do volume do recipiente que contém a substância de trabalho e, por outro, a partir da propriedade geométrica do diagrama pressão por volume onde a área circunscrita pelo ciclo é numericamente igual ao trabalho realizado. Como estratagema de solução de problemas, a termodinâmica de ciclos aplica o princípio da

conservação da energia a ciclos particulares, geralmente reversíveis, combinando assim a primeira com a segunda leis (2017, p. 292).

Ambas as obras não reservam maiores destaques à universalidade da segunda lei e na última, a associação da entropia à desordem do sistema leva a impressão de que a única desordem possível, ou a mais relevante, é a configuracional. Outras diferenças perceptíveis são em relação a objetos didáticos, como a escolha de exemplos e a maior elucidação de detalhes matemáticos. Essas obras diferem das duas primeiras também na perspectiva epistemológica.

Em seu consagrado Lições de Física [5], Feynman (2008) introduz a perspectiva atômica desde o início do Capítulo 39 Teoria Cinética dos Gases para entender várias propriedades da matéria e as leis da termodinâmica. Baseado na hipótese de que as propriedades gerais da matéria devem ser explicadas em termos dos seus constituintes, o autor organiza os teoremas principais da mecânica estatística no capítulo seguinte, aplicando a fenômenos como a evaporação ou a solidificação de um gás ou a obtenção dos seus calores específicos; ao movimento browniano no capítulo subsequente e a outros fenômenos como emissão termiônica, ionização térmica e cinética química no Capítulo 42, e condutividades iônica e térmica, juntamente ao problema da difusão molecular no Capítulo 43.

As leis da termodinâmica propriamente ditas são abordadas no Capítulo 44, através da análise de uma máquina térmica movida a elásticos de borracha. Discute as condições para a conversão de calor em trabalho, o conceito de eficiência e a sexta seção versa especificamente sobre a entropia como função de estado, sendo finalizada com uma síntese das leis e enunciados.

De modo análogo ao observado no livro de Chaves (2001) e em concordância com a proposta geral das Lições , os potenciais termodinâmicos são introduzidos pela via de situações no Capítulo 45 da obra [5] e a relação entre entropia, ordem e desordem, em estreita análise com a possibilidade de violação da segunda lei é explorada no Capítulo 46 - Catraca e lingueta. Nesse capítulo, Feynman propõe um dispositivo constituído de uma caixa de gás contendo no seu interior, uma roda dentada acoplada a um eixo, cuja outra extremidade apresenta fixada uma catraca com lingueta, para travar os dentes daquela de modo a permitir a rotação em apenas uma direção. Ao eixo poderia ser atado um barbante e uma pulga poderia ser erguida com ele, através do movimento fornecido pelo impacto das moléculas do gás nos dentes da roda. Feynman relaciona o movimento browniano das partículas e da própria catraca, para justificar pela condição de equilíbrio que a roda não girará. Na seção destinada a discussão da reversibilidade, identifica a situação citada com o dispositivo proposto por Maxwell que violaria a segunda lei por permitir o acúmulo de partículas com maior velocidade numa única das caixas de um sistema composto por duas, conectadas por um orifício pequeno. Esse, estaria encoberto por uma portinhola, que poderia ser fechada ou aberta por um demônio em função da aproximação das partículas de maior velocidade. Pela analogia clara entre as duas situações, Feynman utiliza o movimento browniano para mostrar a inviabilidade do demônio cumprir sua tarefa. O capítulo é finalizado com a discussão da seta do tempo e salienta a importância do atrelamento dos sistemas ao universo.

## Considerações Finais

Nossa análise evidencia a carência, salvo no caso do livro de Feynman [5], de uma apresentação crítica da fundamentação da universalidade da segunda lei,

problema ao qual Maxwell dedicou o seu demônio. O problema foi retomado por físicos como Leo Szilard e Rolf Landauer, e foi subsumido, ao longo do século passado, na emergência e relevância do conceito de informação (MAGOSSI e PAVIOTTI, 2019); atualmente, o tema é pesquisa de fronteira envolvendo termodinâmica e mecânica quântica. Assim, os livros-texto, em sua maioria, privam seus leitores deste problema conceitual, de história inconclusa de mais de um século. A transposição didática deste problema certamente ajudaria a compreensão da natureza da própria ciência e da sua produção.

No Ensino Superior, o conhecimento dos saberes nem sempre se pauta na compreensão dos fenômenos e dos problemas que lhes deram origem ou na sua aplicabilidade. Ao ser transposto do contexto da criação (o do fazer científico e da literatura especializada) ao da aprendizagem (o saber a ensinar, presente nos manuais didáticos), um conceito é ressignificado, porém, deve manter semelhanças com a ideia original da comunidade de pesquisa. A modernização deve dar-se de modo à instrução formal pretendida não se limitar àquela que se encontra diluída na cultura da sociedade. A abordagem pouco cuidadosa em relação ao conceito de entropia e sua associação simplista com a ideia de desordem numa perspectiva exclusivamente configuracional identificada em algumas obras de grande sucesso para a formação universitária descortinam a necessidade da elaboração de materiais didáticos que participem o indivíduo em formação das questões e contradições sócio-históricas e culturais da sociedade contemporânea.

## Referências

ALMOULOUD, S. Teoria Antropológica do Didático: metodologia de análise de materiais didáticos. Unión Revista Iberoamericana de Educación Matemática , v. 42, pp. 09-34, 2015.

CHAVES, A. S. Física : sistemas complexos e outras fronteiras. Rio de Janeiro: Reichmann & Affonso Ed., 2001.

FEYNMAN, R. P.; Lições de Física de Feynman : edição definitiva. Porto Alegre: Bookman, 2008

KUHN, T. S. A Tensão Essencial : estudos selecionados sobre a tradição e mudança científica. São Paulo: Editora Unesp, 2011.

LUCENA, J.; CHIAPPIN, J. R. N. A Geometria como Instrumento Heurístico da Reformulação da Termodinâmica na Representação de Ciclos para a de Potenciais. Principia v. 21, n. 3, pp. 291-315, 2017.

MAGOSSI, J. C.; PAVIOTTI, J. R. Incerteza em Entropia. Revista Brasileira de História da Ciência v. 12, n. 1, pp. 84-96, 2019.

MAXWELL, J. C. Theory of Heat . Londres: Longmans, Green and Co., 1902.

NOBREGA, M. L.; FREIRE JR, O.; PINHO, S. T. R. Max Planck e os Enunciados da Segunda Lei da Termodinâmica. Revista Brasileira de Ensino de Física v. 35, n. 2, 3601 (2013).

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica v. 2, 4ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2004.

RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; KRANE, K. S. Física v. 2, 5 a ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.

YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física II, Sears e Zemansky : termodinâmica e ondas 14ª ed. São Paulo: Pearson, 2016.