DENSIDADE SEMÂNTICA DO DISCURSO DE MATEMATIZAÇÃO NO ENSINO DE FÍSICA

## DENSIDADE SEMÂNTICA DO DISCURSO DE MATEMATIZAÇÃO NO ENSINO DE FÍSICA

## SEMANTIC DENSITY OF MATHEMATIZATION DISCOURSE INPHYSICS TEACHING

## Otávio Bocheco 1 , Frederico F. de Souza Cruz 2 , Sandro da Silva L. Machado 4

1 Instituto Federal Catarinense/Campus Rio do Sul, otavio.bocheco@ifc.edu.br 2 Universidade Federal de Santa Catarina/Departamento de Física/, fredfirmo@gmail.com 3 Escola de Educação Básica Leonor de Barros/SC, sanlivra@gmail.com

## Resumo

Esta pesquisa apresenta uma proposta inicial de ferramenta de análise para a qualificação da abordagem Matemática no ensino de Física. De acordo com a literatura, estudos históricos e epistemológicos, referentes ao papel da Matemática na constituição de teorias físicas, apontam para uma nova postura didáticopedagógica quanto ao processo de matematização no ensino de ideias físicas. Tais apontamentos distinguem dois tipos de abordagem: estruturante e técnica . Em síntese, a primeira revela a Matemática como estrutura de ideias, enquanto a segunda caracteriza a mesma como ferramenta para a simples quantificação de grandezas físicas. Diferente da literatura, que propõe a qualificação da abordagem Matemática no ensino de Física mediante categorias e subcategorias, tipo caixas fechadas, a presente pesquisa propõe uma ferramenta capaz de traçar um perfil semântico para tal qualificação entre estruturante e técnica . A viabilização disto ocorre através da Teoria dos Códigos de Legitimação (TCL) e sua dimensão Semântica. Apresenta-se uma proposta inicial da ferramenta e um estudo piloto referente a análise do discurso de matematização subjacente a 2ª Lei de Newton (

⃗ = F ma ⃗ ) em um livro didático de nível superior.

Palavras-chave : Matematização, Física, Estruturante, Semântica

## Abstract

This research presents an initial proposal of an analysis tool for the qualification of the Mathematical approach in the teaching of Physics. According to the literature, historical and epistemological studies, referring to the role of Mathematics in the constitution of physical theories, point to a new didacticpedagogical attitude regarding the mathematization process in the teaching of physical ideas. Such notes distinguish two types of approach: structural and technical . In summary, the first one reveals Mathematics as a structure of ideas, while the second one characterizes it as a tool for the simple quantification of physical amounts. Unlike the literature, which proposes the qualification of the Mathematical approach in the teaching of Physics through categories and subcategories, as closed boxes, this research proposes a tool capable of drawing a semantic profile for such qualification between structuring and technical. This is feasible through the Theory of Legitimation Codes (TLC) and its Semantic dimension. An initial proposal of the tool and a pilot study regarding the analysis of the

mathematical discourse underlying Newton's 2nd Law ( ⃗ = F ma ⃗ ) are presented in one college textbook.

Keywords : Mathematization, Physics, Structuring, Semantics

## INTRODUÇÃO

Pietrocola (2002) propõe uma análise mais profunda a respeito das relações epistêmicas entre a Matemática e a Física, de forma a revelar uma nova postura didático-pedagógicas durante a abordagem da primeira no ensino da segunda. Para isto, o autor inspira-se em Paty (1995), o qual defende que ' a evolução histórica das relações entre matemática e física é epistemologicamente instrutiva ' (PATY, 1995, p.234).

Assim, Paty (1995) sugere que as teorias físicas fazem uso de estruturas matemáticas em dois níveis: nível fraco e nível forte . No primeiro, a Matemática representaria um simples instrumento externo, nada mais que isso. Algo neutro, despojado de conteúdo físico e sem qualquer carga semântica. Já no nível forte a matemática adentra na construção do conceito físico. Exemplos disso seriam as

definições de velocidade dx dt e força md x 2 dt 2 . Neste último nível, segundo o físico e

filósofo, a Matemática é tida como estruturante de uma ideia física. Evidência que o autor expõe ao apresentar uma analise do desenvolvimento da Física de Partículas.

Mediante tais reflexões, Pietrocola (2002; 2008) e Karam e Pietrocola (2009) propõem uma abordagem estruturante ( nível forte) da Matemática no ensino de Física, cujo foco seria um processo de matematização de ideias físicas voltado para o desenvolvimento de habilidades estruturantes. Algo contrário à tradicional abordagem técnica nível fraco ( ), centrada no desenvolvimento de habilidades técnicas, via a prática de exercícios tipo plug-in-play ( famosa aplicação de fórmulas).

No entanto, é possível refinar a ponte que os autores supracitados executam, entre os níveis epistemológicos de Paty (1995) e o discurso ou textualização do processo de matematização no ensino de Física. Para isso, é interessante algumas considerações iniciais.

A primeira seria reconhecer que existem dois tipos de estruturante ; 1) o estruturante matemático - próprio da Matemática, afinal, a fatoração, o teorema de Pitágoras e outros possuem seus estruturantes, sem preocupações com o mundo empírico; 2) o estruturante físico-matemático relacionado a Física e a Matemática, um elo de ligação entre a carne fenomenológica e os ossos matemáticos de uma ideia física.

Assim, considera-se que o significado de estruturante, na ocasião da abordagem Matemática no ensino de Física, diz respeito as relações físicomatemáticas possibilitas pelas estruturas apresentadas no processo de matematização. Tais relações é que permitem ao público estudantil instrumentalizar o questionamento e a interpretação fenomenológica, pois constituem significados, condensados em estruturas matemáticas, que permitem a ligação de objetos físicos e enunciados. São estas relações que carregam a essência subjacente ao nível forte

de Paty (1995). Já um ensino focado, apenas, em relações de proporção matemática entre grandezas físicas, evidencia um nível fraco , onde a matematização é despojada de uma carga semântica ou ideia física.

Porém, mesmo diante de tais considerações, permanece um questionamento: como distinguir os itens analíticos, abordagem estruturante e abordagem técnica , no discurso ou textualização didático-pedagógica do processo de matematização no ensino de Física?

A princípio, o pesquisador que chegou mais próximo de qualificar isto foi Karam (2012), que em sua tese propõe uma ferramenta teórica para a análise da abordagem Matemática no ensino da Física. Segundo sua proposta isto seria possível através de um conjunto de categorias (Quadro 1, abaixo).

Quadro 1 Categorias de análise para qualificar a abordagem Matemática no ensino de Física.Fonte: Adaptação de KARAM, 2012, p. 117

Tais categorias foram constituídas mediante a análise de aulas de Relatividade e Eletromagnetismo, ministradas no ensino superior. Isto se deu com base em reflexões históricas, epistemológicas e filosóficas a respeito da complexa relação entre a Matemática e a Física. Além de um ciclo de modelagem alternativo para analisar as relações entre Matemática e Física e o grau de matematização no ensino de Física (UHDEN et al, 2011).

Ao que tudo indica, as categorias de Karam (2012) apontam para os princípios organizacionais de um discurso estruturante de matematização no ensino de Física. No entanto, ao dispô-los de forma categorial, limita a análise ou qualificação do discurso de matematização via caixas fechadas. Para aperfeiçoar isto, pressupõe-se que o ideal, para qualificar um discurso ou uma textualização, subjacentes ao processo de matematização no ensino de Física, seria através da construção de um perfil semântico. Tal intento se concentraria na estruturação

epistêmica deste discurso ou textualização, de modo a revelar um alcance semântico capaz de manifestar a distinção dentro do espectro estruturante e técnico. Isto seria possível via a dimensão Semântica da Teoria dos Códigos de Legitimação de Maton (2014a).

## TEORIA DOS CÓDIGOS DE LEGITIMAÇÃO

A Teoria dos Códigos de Legitimação (TCL) de Maton (2013; 2014a) permite revelar os princípios organizadores que sustentam, estruturam e legitimam a complexa funcionalidade de um discurso voltado ao ensino. A grosso modo, a TCL consiste num conjunto de ferramentas para o estudo da prática. Em sua formação central, a TCL constitui um kit ferramental de conceitos multidimensionais, onde cinco dimensões (Autonomia, Densidade, Especialização, Semântica e Temporalidade) oferecem conceitos para analisar um conjunto específico de princípios organizadores (ou códigos de legitimação), subjacentes às práticas discursivas.

Como o objeto de estudo aqui consiste em analisar o discurso didáticopedagógico de matematização do conhecimento físico, em salas de aula e materiais didáticos, aborda-se a dimensão Semântica da TCL e o seu conceito de Densidade Semântica (DS).

## A TCL e sua Dimensão Semântica

A dimensão Semântica da TCL considera os campos sociais das práticas como estruturas semânticas, cujos princípios organizadores são conceituados como códigos semânticos. Uma das questões de investigação desta dimensão está relacionada no que diz respeito ao grau de condensação do conhecimento em símbolos, através do seu conceito de Densidade Semântica (DS).

De acordo com Maton (2013), a DS pode ser relativamente fortalecida (+DS) ou enfraquecida (-DS), ao longo de um continuum de forças. Sendo que no fortalecimento da DS mais significados são condensados dentro das práticas, enquanto o enfraquecimento condiz com o oposto.

- O fortalecimento e enfraquecimento da DS permite traçar o perfil semântico de uma prática discursiva, de forma que possibilitaria a qualificação da abordagem Matemática no ensino de Física num espectro entre estruturante e técnica .

No entanto, para isso, é necessário um dispositivo de tradução (MATON e DORAN, 2017), composto por níveis de DS para a análise do discurso ou textualização do processo de matematização de ideias físicas.

## Dispositivo de Tradução para a Abordagem Estruturante ou Técnica

É necessário conceituar os processos de fortalecimento e enfraquecimento da DS (↑ ↓), através de níveis de estrutura epistêmica para a construção de um discurso de matematização no ensino de Física. Isto funcionaria como uma especie de dispositivo de tradução, que, conforme Maton e Doran (2017) ofereceria um modo de analisar o discurso pelo qual uma prática pode se expressar.

Conforme mencionado anteriormente, de inicio, considera-se que matematizar no ensino de Física consiste em estabelecer relações fisicomatemáticas entre grandezas físicas, de forma verbal ou simbolizada. São estas relações que permitem sintetizar e generalizar, matematicamente, o pensamento ou questionamento físico e fenomenológico. Portanto, num discurso ou textualização didático-pedagógicos, de matematização de ideias físicas, as relações físicomatemáticas seriam os significados a serem condensados em estruturas simbólicas.

Assim, de inicio, foram elencados 5 níveis de estrutura epistêmica, referentes à construção de um discurso didático-pedagógico de matematização no ensino de Física. Tais níveis são apresentados na Figura 1, abaixo.

Figura 1 - Níveis de Densidade Semântica para a matematização no ensino de FísicaFonte: Elaboração própria

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Referente ao nível 1, considera-se indispensável uma conceitualização prévia, de pelo menos uma parte, das grandezas físicas a serem matematizadas.

Já os níveis 2 e 3 , considera-se que uma afirmação, mesmo que verbalizada (linguagem natural), de uma proporcionalidade entre duas grandezas físicas pode estabelecer uma estrutura relacional com significado apenas matemático ou físicomatemático. Uma intencionalidade didática focada apenas na condensação de significados relacionais de proporção, direta ou indireta, por exemplo, implica em relações de proporções matemáticas entre grandezas físicas. Já uma intencionalidade focada na condensação de significados estruturais que interligam objetos físicos, implica em relações físico-matemáticas.

Por último, os níveis 4 e 5 diferenciam estruturas matemáticas em nível básico e com a presença de ferramentas do cálculo diferencial e integral, respectivamente. As justificativas são por conta de uma diferença na DS entre estruturas físico-matemáticas como v = Δ x Δ t e v = dx dt . A primeira representa uma

razão simples entre distância e tempo, para uma velocidade média ou constante. Já a segunda conta com um grau de significados relacionais condensados mais abrangentes, como a velocidade instantânea, com dt tendendo a zero, por exemplo. Ou seja, há mais estruturantes físico-matemáticos ou instrumentos para interpretar ou questionar os fenômenos.

Como estudo piloto para esta ferramenta teórica, em fase de construção 1 , demonstra-se uma análise da textualização empregada no processo de matematização das ideias físicas ligadas a 2ª Lei de Newton ( ⃗ = F ma ⃗ ), num livro texto não muito comum nos cursos de formação em Física (Bacharelado ou Licenciatura), porém, muito conhecido, o Lições de Física do físico Richard Feynman (FEYNMAN, 2008).

## Discussões e Resultados (estudo piloto)

Para esta análise foi escolhida a matematização da 2ª Lei de Newton ( ⃗ = F ma ⃗ ), disposta no volume 1 do livro mencionado acima.

## Livro: Lições de Física

Feynman (2008, p. 106) inicia o processo de matematização alertando de que momento e velocidade são coisas distintas e para ilustrar isso, cita um exemplo concreto, referente a comparação de um empurrão com os braços em um objeto leve e depois pesado. A seguir, conceitua o leve e o pesado como menos ou mais massivo, diferenciando, para um objeto, o peso de sua inércia; ' o quão difícil é colocar um objeto em movimento, e o quanto ele pesa é outra coisa' . Na sequência, conceitua a massa ' como uma medida quantitativa da inércia'. Tal conceitualização de grandezas físicas que serão envolvidas no processo de matematização, caracteriza uma DS em nível 1 , de acordo com a Figura 1, acima.

A seguir, Feynman (2008, p. 106) generaliza, verbalmente, o momento de um objeto como o produto de duas partes: massa e velocidade . Isto induz um pensamento físico-matemático, pois, mesmo que de forma verbal ou qualitativa, estabelece que o momento possui uma estrutura linear, proporcional a massa e a velocidade , deixando claro que empurrar depende da massa e que, portanto, o momento não depende somente da velocidade. Parece trivial, mas aqui há uma condensação de significados físico-matemáticos ao estabelecer tal relação interligando objetos físicos entre a Dinâmica e a Cinemática. O discurso de Feynman não concentra-se apenas na proporção matemática entre massa e velocidade. Vai além disso, sendo extremamente fenomenológico. Esta condensação de significados relacionais faz com que a DS se eleve para o nível 3 .

No próximo passo, Feynman (2008, p. 107) faz uso da simbologia e enuncia a 2ª Lei de Newton em sua forma diferencial, F = d dt ( mv ) . Ou seja, eleva a DS

para o nível 5, condensando mais significados físico-matemáticos relacionais. Só que agora em uma estrutura matemática simbolizada pelo cálculo diferencial. Ou seja, Feynman (2008) chega a estrutura simbólica da 2ª Lei através da massa, inércia e momento, de forma a condensar suas relações físico-matemáticas numa estrutura matemática diferencial.

Após esta matematização simbólica, Feynman (2008, p. 107) alerta que, antes de estudar o que significa cada termo é importante a consideração de alguns pontos. Daí em diante, o físico parte para as idealizações ou modelização; '[…] a massa de um objeto é constante; isso não é verdade, mas devemos começar com a

aproximação de Newton que massa é constante, a mesma em todos os tempos, e que, no futuro, quando colocarmos dois objetos juntos, suas massas se somam'. Após isto, Feynman deduz ou condensa as relações físico-matemáticas possíveis para sistemas com massa constante e aditiva, chegando à estrutura matemática básica, ⃗ = F ma ⃗ . Isto faz com que a DS desça para o nível 4.

É importante enfatizar que a condensação de significados, que delimita o fortalecimento ou enfraquecimento da DS, diz respeito às relações físicomatetemáticas ( os estruturantes ). Assim, justificando o nivelamento da DS nos últimos dois parágrafos acima, destaca-se que em ⃗ = F ma ⃗ , a estrutura de relações físico-matemáticas envolve sistemas com massa e aceleração constantes, enquanto

F = d dt ( mv ) estrutura relações ligadas a sistemas com massa constante ou variável, velocidade constante ou variável. Ou seja, nesta última há mais instrumentos de pensamento físico-matemáticos para a análise, interpretação e questionamento fenomenológico.

A figura 2, abaixo, apresenta como seria o perfil semântico da enunciação simbólica da 2ª Lei de Newton, executada por Feynman (2008).

Figura 2 Perfil Semântico da enunciação simbólica da 2ª Lei de Newton em Feynman (2008)Fonte: Elaboração própria

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Conforme a Figura 2, conclui-se que a enunciação matemática da 2ª Lei de Newton, executada por Feynman (2008), condensa significados físico-matemáticos de forma gradual, em relação a sua textualização. Para Karam (2012), esta graduação suave caracteriza uma abordagem estruturante. Talvez, isto ou o que Maton (2013) denomina de Alcance Semântico possam se tornar parâmetros ou princípios para a qualificação de um espectro entre as abordagens e struturante (focada numa matematização via relações físico-matemáticas) e técnica (focada na matematização via proporções matemáticas secas e estéreis).

## Considerações Finais

A presente pesquisa está em trânsito. Porém, independente da precisão, pretende-se contribuir para a melhor compreensão da dimensão epistêmica do discurso ou textualização do processo de matematização no ensino de Física. A TCL e seu conceito de DS apontam potencial para tal análise, via um perfil semântico.

A proposta de ferramenta analítica, em construção, não pretende apontar perfis semânticos de tal processo como definitivos e universais. Cada perfil é subjacente a um propósito, audiência e contexto. Não seria aqui uma proposta de ser prescritivo, mas sim, reflexivo.

Outros estudos em andamento, por exemplo, apontam que Halliday et al (2016), um livro texto muito utilizado na formação de físicos (bacharel ou licenciatura), possui um perfil e alcance semânticos diferentes. No entanto, para maiores conclusões de cunho valorativo ou comparativo, exige-se estudos mais profundos e precisos.

## Referências

FEYNMAN, R. P. Lições de física de Feynman. Edição definitiva. Porto Alegre: Bookman, 2008.

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MATON, K. Knowledge and knowers: towards a realist sociology of education. London and New York: Routledge, 2014a.

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UHDEN*, O.; KARAM*, R.; PIETROCOLA, M.; POSPIECH, G. Modelling mathematical reasoning in physics education. Science &amp; Education. 2011. *Ambos os autores contribuíram igualmente.