RECURSIVIDADE E ACÚMULO DE CONHECIMENTOS COMO INGREDIENTES NA ANÁLISE DE GRADES CURRICULARES

## RECURSIVIDADE E ACÚMULO DE CONHECIMENTOS COMO INGREDIENTES NA ANÁLISE DE GRADES CURRICULARES

## RECURSIVENESS AND ACCUMULATION OF KNOWLEDGES AS INGREDIENTS IN THE ANALYSIS OF COURSE PROGRAMMES

## Suzane F. Pinto¹, Larissa M. Soares², Ronan S. Ferreira³

1 Universidade Federal de Ouro Preto, Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas, suzane.ferp@gmail.com

2 Universidade Federal de Ouro Preto, Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas, mendes.larissasoares@gmail.com

3 Universidade Federal de Ouro Preto, Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas, ronan.ferreira@ufop.edu.br

## Resumo

Analisamos as grades curriculares do ciclo básico das engenharias em nosso instituto usando ferramentas da física estatística de redes complexas. Naturalmente, uma grade curricular estrutura-se em forma de rede (ordenamento temporal e prérequisitos). Nessa abordagem, cada tópico dentro de cada ementa das disciplinas é associado a um nó, que por sua vez são conectados aos pares por links . Links representam, portanto, a dependência de um certo tema de uma disciplina para a compreensão de um outro, em uma disciplina diferente. Assim, podemos construir uma rede de temas a partir das conexões entre os tópicos das ementas. Como uma grade curricular é uma estrutura tempo-dependente, evoluindo semestre após semestre, propomos um modelo simples para assinalar ligações entre pares de nós, levando em conta apenas dois ingredientes do processo de ensino-aprendizagem: a recursividade e o acúmulo de conhecimentos. Como já conhecemos as grades curriculares, nosso primeiro objetivo é verificar se o modelo proposto é capaz de capturar as particularidades de cada uma delas. A partir daí, nosso objetivo é renovado: cada um dos cursos de engenharia apresentam os conteúdos de Física básica (I, II, III e IV) em um ordenamento semestral diferente ou mesmo retirando uma dessas cadeiras. O objetivo passa então a ser a identificação de implicações que diferentes sequenciamentos possam ter no aprendizado dos alunos nos anos iniciais das engenharias e levantar uma discussão sobre grades curriculares do ensino de física para outros cursos. Questionamentos deste tipo são particularmente interessantes quando observamos que a sequência na apresentação dos conteúdos de Matemática, Química e Computação para a engenharia não são alterados substancialmente quando comparamos grades curriculares. Nosso modelo pode ser usado como uma ferramenta sistemática auxiliando na construção de uma grade curricular mais interdisciplinar, articulando entre os saberes das disciplinas iniciais da graduação em ciências exatas.

Palavras-chave : grade curricular, ensino, sistemas complexos.

## Abstract

We analyze the curriculum of the early common-years of engineering in our institute using tools of statistical physics of complex networks. Naturally, a course programme is structured in a networked form (temporal dependency and prerequisites). In this approach, each topic within each programme is associated with a node, which in turn is connected by peers by means of links. Thus, links represent the dependence of a topic of a discipline for the understanding of another in a different discipline. Therefore, we can build a network of themes from the connections between topics of the programmes. As a course programme is a time-dependent structure, we propose a simple model to assign links between nodes, taking into account only two ingredients of the teaching-learning process: recursiveness and accumulation of knowledge. Since we already know the programmes, our first objective is to verify if the proposed model is able to capture their particularities. From then, our goal is renewed: each engineering degree present the contents of initial Physics (I, II, III and IV) in a different sequence or even without one of these disciplines. The goal is then to identify implications of different sequencing in the student learning in the early years of engineering degrees and to raise a discussion about curriculum of physics for other courses. Questionings of this kind are particularly interesting when we observe that the sequence in the presentation of Mathematics, Chemistry and Computer programming contents for engineering are not substantially altered when compared to engineering course programmes. Our model can be used as a systematic tool assisting with construction of a more interdisciplinary curriculum, articulating between disciplines of the undergraduate early-years in exact sciences.

Keywords : course programmes, learning, complex system.

## Introdução

A teoria de redes complexas tem seu marco inaugural no fim dos anos de 1990 (WATTS; STROGATZ, 1998; BARABÁSI; ALBERT, 1999). De lá para cá, vem perpassando diversas áreas do conhecimento (BARABÁSI, 2017). Desde investigações em dinâmicas sociais (SZABÓ; BUNTH, 2018), passando pela propagação e controle de epidemias (VALDANO et al ., 2018) até a linguística (TORRE et al ., 2017). Dessa forma, a teoria de redes complexas tornou-se um paradigma para pesquisas interdisciplinares, que por sua vez são um desafio para o ensino e divulgação científica (SILVA; MAGALHÃES, 2017). Entretanto, nossas grades curriculares dividem-se em conteúdos específicos por uma motivação didática. Outro ponto são os pré-requisitos, os quais entendemos como exigências sobre competências adquiridas para a continuidade no curso e o acúmulo de conhecimento. Dessa forma, os pré-requisitos são, ao menos no contexto da interdisciplinaridade aqui discutido - o ensino integrado das disciplinas em uma grade curricular - um mecanismo de conexão entre as disciplinas. Por outro lado, o conhecimento de uma fração maior dos conteúdos em uma grade por parte dos professores também é fundamental para a consolidação de um currículo mais integrado. Isso porque, por parte dos estudantes, nem sempre é fácil perceber a relevância dos tópicos de uma disciplina em outra. Talvez por essas razões questões como: 'Quando usarei isso?' ou 'Por que eu devo aprender isso?' acompanham o dia a dia estudantil.

Particularmente, nos cursos de graduação em engenharia, os índices de reprovações nas disciplinas do ciclo básico vêm se transformando numa espécie de 'cultura do insucesso'. Esse pensamento leva os ingressantes (calouros) a considerarem a repetição de disciplinas como Cálculo Diferencial e Integral e Física um fato natural: a regra, sendo a exceção aquele aluno regular no curso em questão (BARROSO; FALCÃO, 2004; BELANÇON, 2017; MATTA, 2017). Com efeito, retenções levam a um número elevado de evasões em alguns cursos, implicando um número grande de vagas ociosas que são difíceis de serem reocupadas quando em períodos mais avançados dos cursos (CAMPELLO; LINS, 2008). Em nossa instituição foi criado o programa Pró-ativa (PROGRAD, 1999) que visa a melhoria na oferta dos cursos e disciplinas da graduação e o processo de aprendizado. Na edição de 2017, propusemos a exposição dos estudantes selecionados pelo programa à teoria de redes complexas. A partir daí, os estudantes foram instigados a mapear as disciplinas do ciclo básico, construindo uma rede de temas. Uma rede é um grafo para o qual atribuímos um significado físico a um conjunto de nós (vértices) conectados por arestas ( links ), obedecendo alguma distribuição estatística (DOROGOVTSEV, 2010). Em nossa abordagem, cada tópico dentro de cada ementa das disciplinas é associado a um nó, que por sua vez, são conectados aos pares por links . Esses links representam, portanto, a dependência de um certo tema de uma disciplina para a compreensão de um outro, em uma disciplina diferente.

Nossos objetivos então são (i) a proposição de um modelo para assinalar as dependências entre os diversos temas de uma ementa curricular; (ii) verificar se o modelo proposto é capaz de capturar particularidades de cada grade estudada. A verificação é possível porque conhecemos previamente as grades; Por fim, (iii) identificar a partir do modelo a influência das diferentes sequências dos temas de física tanto para a grade curricular quanto para o processo de ensino-aprendizagem.

## Metodologia

Para um grafo do tipo ∑ em que é o número de nós e o número de links , podemos escrever uma matriz do tipo ( ) nomeando cada nó com um número inteiro . Essa matriz de adjacências carrega a informação sobre a existência de uma ligação entre quaisquer dois nós em um grafo. Para uma grafo do tipo não direcionado, os elementos * + da matriz são definidos de tal maneira que { } se existe uma ligação entre e e { } , caso contrário. Por outro lado, um grafo direcionado pode, por exemplo, representar uma rede social tal com o Facebook ou o Instagram : nem sempre seguimos pessoas que nos conhecem, como é o caso dos seguidores de celebridades. Isso pode ser entendido como uma ligação que preserva um sentido. Portanto, podemos representar essa ligação com uma seta indicando um sentido no link entre o fã desconhecido e a celebridade. Para esse tipo de grafo teremos uma matriz em que { } se existe uma ligação de para e { } caso não exista a conexão.

A mais fundamental das quantidades em redes é o grau de um nó, dado pelo número de conexões que ele possui. A distribuição de graus ( ) equivale à fração de nós que possuem grau ( ) / , uma vez que ∑ . O grau de um nó pode ser obtido a partir da matriz de adjacências. Supondo o caso direcionado,

teremos que contar o número de arestas que entram em um nó e, separadamente, o número de arestas que saem, e , respectivamente. Com isso, o valor médio de conexões pode ser obtido a partir da distribuição de conectividade ( ) : ⟨ ⟩ ∑ ( ) .

## Modelo

A rede de temas apresenta uma dependência temporal, porque, evidentemente, disciplinas de semestres posteriores podem depender de conteúdos passados. Portanto, a rede cresce a cada período e seus links possuem uma direção. Na prática, para construirmos nossa rede de temas, propomos o seguinte modelo: (i) aos tópicos em um mesmo período é permitida a conexão de forma distributiva; (ii) Os tópicos em um período ℘ também podem se conectar com tópicos do período ℘ - 1 (com ℘ >2) dando assim o ingrediente de recursividade, retratando a ideia do acúmulo de conhecimentos.

## Resultados e discussões

As distribuições de conexões entre os tópicos que encontramos apresentam demasiadas flutuações, o que torna difícil a análise para propósitos estatísticos. Essas flutuações estão, principalmente, na cauda das distribuições em que ou, equivalentemente, para baixas frequências de ocorrência de . Para realizarmos um tratamento estatístico em valores ( ) , a estratégia foi usar funções de distribuições acumuladas complementares - CCDF (MAGALHÃES; DE LIMA, 2002). De forma geral, uma função CCDF é tal que, no limite contínuo ( ) ∫ ( ) , em que é uma variável aleatória correspondendo à variável aleatória truncada no intervalo , -. Para nossas redes de ementas precisamos do caso discreto, em que denotaremos uma função desse tipo por ( ) ∑ ( ) .

No gráfico à esquerda na figura 1 são mostradas as distribuições de entrada (a) ( ) e (b) ( ) , enquanto à direita são apresentadas as distribuições de saída (c) ( ) e (d) ( ) para a rede de temas da Engenharia Elétrica (EE). Em (a), os dados referem-se à distribuição sem tratamento o estatístico CCDF, o qual é mostrado em (b). O melhor ajuste encontrado, seguindo a proporcionalidade ( ) ( ) é mostrado, tanto em (a) quanto em (b), pelas curvas de traçado contínuo. As mesmas informações são apresentadas em (c) e (d), para as distribuições de saída.

Figura 1 - Distribuições de grau para links de entrada (à esquerda) e saída (à direita). Em (a) e (b) não há tratamento estatístico.

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Fonte: os autores.

É interessante, neste ponto, fazer uma observação sobre o processo de construção da rede de temas. Nossa primeira investigação foi apenas conectar aqueles temas relacionados, sem nenhuma preocupação com a dependência temporal tampouco pensando no processo de acúmulo de conhecimentos, no qual se baseia, essencialmente, o processo de aprendizagem. Nesse caso, o que encontramos foi uma distribuição exclusivamente aleatória no plano (dados não exibidos). Somente com a proposição do nosso modelo apresentado na seção 3 é que obtivemos as distribuições apresentadas neste artigo. A figura 2 apresenta as distribuições de entrada e saída para as três engenharias: Engenharia Elétrica (EE), Engenharia de Computação (EC) e Engenharia de Produção. As curvas de traço contínuo são ajustes exponenciais e os valores dos respectivos expoentes são apresentados na tabela 1.

estão na tabela 1.

Figura 2 - Distribuições ( ) (topo) e distribuições ( ) (base) para as três engenharias estudadas. Da esquerda para a direita: Engenharia Elétrica (EE), Engenharia de Computação (EC) e Engenharia de Produção (EP). Valores para os expoentes de decaimento

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Fonte: os autores.

Tabela 1 - Caracterização da rede de temas das engenharias. Engenharia Elétrica (EE), Engenharia de Produção (EP) e Engenharia de Computação (EC).

Fonte: os autores.

Para uma comparação, colocamos em mesma escala na figura 3 as funções contínuas obtidas a partir dos ajustes exponenciais, mostrados na figura 2. Observase que, apesar de se tratar de dados do ciclo básico das Engenharias, para o qual

esperaríamos obter uma (quase) superposição das curvas, isso só acontece com os dados referentes às Engenharias de Computação e Produção, respectivamente, EC e EP. A superposição não é completa devido a diferenças nas ementas dos dois cursos, particularmente no que se refere ao ensino de física. O Projeto Pedagógico Curricular (PPC) da EC estabelece em sua grade curricular a disciplina de Física Moderna (ou Física vol. IV), o que não acontece na grade proposta para o curso de EP. Isso sugere que a inclusão da disciplina de Física IV na grade curricular da EP daria aos alunos uma visão atual dos assuntos abordados até então implicando uma melhor compreensão dos processos na Engenharia moderna, com destaque para os processos da Física e Engenharia de materiais. Outra interpretação da figura 3 é que a inclusão da Física Moderna na grade curricular da EP não acarretaria uma sobrecarga aos alunos do ponto de vista de acúmulo de conhecimento, tampouco do número de pré-requisitos que seriam exigidos para tal disciplina. De outra forma, o desvio entre as inclinações das curvas EC e EP seria evidente, tanto para a distribuição de conexões de entrada quanto para conexões de saída, uma vez que o número de conexões de entrada de um nó está relacionado ao número de prérequisitos para o tema que este nó representa e seu número de conexões de saída associado à relevância deste tema para o andamento do curso.

Figura 3 - Comparação entre as funções contínuas obtidas na figura 2. Para o ciclo básico era esperada uma superposição de curvas. Entretanto, isso não ocorre devido a diferenças no Programa Pedagógico Curricular dos cursos.

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Fonte: os autores.

O desvio mais substancial é entre a EE e as demais. Nesse caso, não acontece a superposição porque também há particularidades em seu PPC que diferencia seu ciclo básico dos demais. De novo, é a setor de ensino de física que apresenta as principais diferenças. Por exemplo, no PPC da EE a disciplina de Eletromagnetismo (Física vol. II) e Termodinâmica (Física vol. III) estão em um mesmo semestre, enquanto separados por um período nas demais EC e EP. Um outro fator é que a disciplina de Física Moderna na EE está no semestre imediatamente posterior ( ℘ e ℘ + 1) ao período em que é programada a disciplina de Eletromagnetismo. Isso porque na ementa de Física Moderna os primeiros

capítulos são dedicados ao estudo de correntes alternadas, que por sua vez, possuem relação direta com o estudo dos circuitos na disciplina Física II. Seguindo nosso modelo, os nós que representam o tema das correntes alternadas , na EE, possuem valores de superiores aos mesmos nós na rede da EC, porque nessa engenharia Eletromagnetismo e Física Moderna estão separadas de um período. O raciocínio inverso se aplica aos valores de . A tabela 2 esquematiza o posicionamento dessas disciplinas para as três engenharias. Esses fatores levam a uma conectividade média maior para EE mostrando-se uma rede mais rica em prérequisitos - curva com maior inclinação na figura 3 (a), embora uma grade desbalanceada se levarmos em conta a relação entre pré-requisitos e relevância de um tema no seguimento de um curso. Isso está relacionado com a razão entre os coeficientes das distribuições de conexões de entrada e saída, em que essa razão r tende a 1 se há uma correlação linear. A saber, para a EE, para a EP e para a EC, mostrando-se o curso com a grade mais balanceada do ponto de vista da sequência de apresentação dos temas do ensino de física.

Tabela 2 - Correspondência: FIS I (Mecânica), FIS II (Eletromagnetismo), FIS III (Termodinâmica) e FIS IV (Física Moderna).

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Fonte: os autores.

## Comentários Finais e Agradecimentos

No âmbito do projeto Pró-Ativa/UFOP propusemos abordar a análise de grades curriculares usando a teoria de redes complexas. O primeiro objetivo foi construir uma rede de temas para cada grade estudada e verificar se era capaz de capturar peculiaridades de cada uma delas. Com efeito, obtivemos distribuições matemáticas que auxiliaram quantitativamente na compreensão dessas grades. Vale dizer que sem assumir a evolução temporal e os ingredientes do modelo ou, dito de outra forma, apenas conectando temas e suas dependências, as distribuições encontradas são aleatórias: um conjunto de pontos marcados ao acaso em um eixo coordenado. Isso destaca, quantitativamente, a importância da análise de prérequisitos dentro de uma grade curricular. Depois disso, nosso objetivo foi observar com o modelo proposto alguma implicação das diferentes sequências na apresentação dos conteúdos de física. Por exemplo, o balanço entre pré-requisitos e a relevância de um tema para o andamento de um curso foi aqui interpretado a partir da razão entre decaimentos das distribuições de conectividades dos temas. Com a extensão do nosso modelo ao ciclo profissionalizante e sua análise de pré-requisitos esperamos também ser possível contribuir para a discussão do processo de

construção de uma grade curricular envolvendo os saberes das ciências básicas com as necessidades técnico-profissionais de cada engenharia.

Os autores gostariam de agradecer os Programas institucionais PróAtiva/Monitoria/Auxilio pesquisador/UFOP e aos professores do Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas/UFOP. RSF gostaria de agradecer ao Departamento de Física da Universidade de Lisboa e ao Grupo Ciência da Complexidade/UFOP.

## Referências

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