''A FORÇA DE ATRITO É CONSTANTE E OPOSTA À VELOCIDADE": ARGUMENTO DE AUTORIDADE OU FATO FÍSICO?

## 'A FORÇA DE ATRITO É CONSTANTE E OPOSTA À VELOCIDADE': ARGUMENTO DE AUTORIDADE OU FATO FÍSICO?

## 'THE FRICTION FORCE IS CONSTANT AND OPPOSITE TO THE VELOCITY': ARGUMENT OF AUTHORITY OR PHYSICAL FACT?

Marcos de L. Leite 1 , Nora L. Maidana 2 , Monaliza da Fonseca 3 , Daniel R. Cornejo 2 , Vito R. Vanin 2

1 PIEC - USP, marcos.lima.leite@usp.br 2 IF - USP, nmaidana@if.usp.br, cornejo@if.usp.br, vanin@if.usp.br 3 PIEC - USP / Colégio Santa Cruz, monalizafonseca@gmail.com

## Resumo

As leis empíricas do atrito de contato definem que a força de atrito cinético é constante e oposta à velocidade. Como leis empíricas, seus enunciados não requerem dedução ou demonstração teórica, sendo muito comum a sua colocação de forma impositiva e inquestionável. Com o intuito de desconstruir essa visão, foi concebido e aplicado, para estudantes de uma disciplina teórica de mecânica avançada, um experimento virtual baseado no lançamento oblíquo de uma moeda sobre um plano inclinado com atrito, que atuou como atividade de contextualização. Pretendia-se verificar experimentalmente a validade das leis empíricas e prever a trajetória da moeda a partir de um modelo teórico do sistema pautado nessas leis e na 2ª lei de Newton. As análises de dados dos alunos validaram as leis empíricas, o que permitiu a previsão da trajetória da moeda a partir de certos parâmetros e condições iniciais. Detalharemos aqui os pressupostos teóricos, a concepção e a montagem do experimento virtual, narraremos seu processo de aplicação e apresentaremos seus resultados. A experiência foi bem avaliada pela maioria, que respondeu corretamente às questões e confirmou a conveniência da atividade com a teoria tratada na disciplina.

Palavras-chave : experimento virtual, lei empírica, modelo, contextualização

## Abstract

The empirical laws of contact friction define that the kinetic friction force is constant and its direction is opposite to the velocity. As empirical laws, their statements do not require deduction or theoretical demonstration. However, it is common to teach them as unquestionable concepts. With the intention to deconstruct this type of behavior, we conceived, assembled, and applied, for students of a theoretical course on advanced mechanics, a virtual experiment based on the oblique launching of a coin on an inclined plane with friction, which would serve as a contextualization activity. The intention was to check experimentally the laws and build a model based on the empirical laws and Newton's 2 nd law. The students' data analysis validated the empirical laws and allowed to predict the coin trajectory from certain properties and initial conditions. This paper aims to detail the theoretical assumptions, the design and the assembly of the virtual experiment, to describe its application process and explore its results. The activity was well evaluated by most of the students who right answered the questions and confirmed the convenience of the activity with the theory introduced in the course.

Keywords : virtual experiment, empiric law, model, contextualization

## Introdução

O estudo da força de atrito normalmente faz-se presente na abordagem didática da Mecânica Clássica, tanto nos cursos de física de nível médio quanto em disciplinas específicas de cursos superiores em física e engenharia. Mesmo não se tratando de uma das quatro interações fundamentais hoje identificadas pelo modelo padrão, sua natureza e seu comportamento são comumente explicados, respectivamente, a partir da rugosidade da matéria em escala microscópica e de um conjunto de enunciados conhecidos como leis empíricas do atrito de contato.

Essas leis introduzem condições e relações distintas para os casos estático e dinâmico. Para este segundo caso, em particular, as mesmas estabelecem que a força de atrito cinético que atua sobre um corpo corresponde a:

onde é o vetor velocidade instantânea do corpo, μc o coeficiente de atrito cinético e N o módulo da força de reação normal.

Apesar da relevância teórica das leis empíricas e de suas implicações possivelmente convincentes para os estudantes no caso de movimentos unidimensionais, para movimentos mais complicados em trajetórias não retilíneas dificilmente essas implicações são de compreensão ou concordância imediatas. Nesse contexto, é mister a busca por estratégias didáticas que fujam das imposições teoréticas, das explicações cabais e das regras mnemônicas. E é perante tal busca que neste trabalho se pretende: (i) apresentar os pressupostos e o processo de montagem de uma atividade experimental virtual cujo objetivo central foi a verificação das leis empíricas do atrito de contato; (ii) mostrar uma possibilidade factível de expansão dessa experiência através da elaboração e utilização de um modelo teórico para previsão de trajetória; (iii) relatar uma recente aplicação dela, discorrendo sobre alguns de seus resultados e (iv) discutir em que sentido a mesma pôde ser concebida como um exercício de contextualização em um curso teórico avançado de mecânica.

## Marcos Teóricos

Segundo Vergani (2009), as ciências inscrevem os seus conhecimentos em quadros abstratos e codificados, cuja validação ocorre por duas vias simultâneas, a experiência e o pensamento racional. Numa tentativa de diferenciar alguns desses possíveis quadros, a autora propõe uma diferenciação:

'Em geral, entende-se por: Regra empírica : uma regra experimentalmente constatada a propósito de uma dada categoria de fenômenos, mas da qual se ignora a explicação em termos de leis; Lei empírica : uma consequência lógica dos princípios que é justificada pela experiência; Princípio : uma proposição de caráter (supostamente) universal que rege a realidade considerada' (VERGANI, 2009, p. 20, negritos da autora)

A autora ressalta, ainda, que quando uma lei empírica não se correlaciona com um princípio, a comunidade científica considera necessária uma revisão dele

para que sua parcialidade seja superada, ao passo que mutações desse gênero permitam uma ampliação dos níveis de universalidade da ciência.

De acordo com Biembengut (2016), o termo modelo tem diferentes sensos, mas em geral aponta para o de representação (de algo que se pretende realizar, entender, explicar ou inferir a partir de esquemas, gráficos, leis matemáticas ou outras formas) e agrega valor a partir de sua utilidade, adequação ao fenômeno observado e aplicabilidade rumo a um resultado, solução ou teoria. A autora propõe uma classificação para os modelos, delimitando o que seria um 'modelo teórico':

' Modelos Simbólicos compreendem modelos teórico e filosófico Modelo . teórico muitas vezes é expresso por meio de relações matemáticas, permite efetuar manipulações experimentais e, assim, resolver uma situaçãoproblema, descobrir ou inventar algo. Modelo filosófico apresenta fundamentos, pressupostos, implicações sobre alguma proposição, tese ou questão' (BIEMBENGUT, 2016, p. 85-86, grifos da autora)

Ao discutir também a opinião de outros teóricos do assunto, ela afirma acerca dos modelos teóricos que estes não apenas potencialmente melhoram o entendimento e aumentam a disponibilidade de informações a respeito de um fenômeno, como também permitem novas simulações, inferências e previsões.

Na abordagem da polissemia do termo contextualização a partir de ampla revisão bibliográfica, Macedo & Silva (2014) ressaltam que de maneira geral, o processo de contextualizar pode ser visto como uma possibilidade de aproximação e articulação entre os conteúdos escolares e a realidade dos alunos, e também como um caminho para tornar o ensino mais significativo. No escopo dos documentos oficiais, os autores reconhecem quatro amplos enfoques para uso dessa palavra:

'1) contextualização como aproximação do conteúdo com o cotidiano do aluno em um sentido amplo, sendo o cotidiano representado por atividades do seu dia a dia, bem como as tarefas laborais; 2) contextualização como a aproximação e relação entre conhecimentos de diversas áreas científicas de modo que possibilitem o trabalho interdisciplinar; 3) contextualização como meio de relacionar aspectos sócio-culturais e históricos a fim de se alcançar a Alfabetização Científica e Tecnológica; 4) contextualização como possível caminho a fim de minimizar os danos causados no processo de transposição didática'. (MACEDO & SILVA, 2014, p. 60)

Os autores advertem, ainda, para o cuidado com as interpretações simplistas a respeito da correlação dos conteúdos científicos com o cotidiano. Afinal, contextualizar não se trata de aproximá-los de forma banal, mas de possibilitar a compreensão do conhecimento científico através da 'reexperimentação' de eventos reais, tirando a passividade e incentivando alunos a reconstruírem e inventarem.

## O Experimento Virtual de Atrito Variável

A situação física escolhida para a atividade experimental foi o lançamento oblíquo de uma moeda sobre a superfície de um plano inclinado; ocasião em que a força de atrito cinético não pode ser desprezada. Uma vez lançada obliquamente, a moeda percorre uma trajetória bidimensional, de forma que, ao menos como esperado a partir das leis empíricas, o vetor força de atrito varie em direção e sentido ao longo do tempo, sempre se opondo ao vetor velocidade instantânea do corpo. Por esta razão, o experimento recebeu a alcunha de Atrito Variável , e tendo sido concebido numa modalidade virtual, ele foi disponibilizado na página de livre acesso do Laboratório Virtual de Mecânica: http://fep.if.usp.br/~fisfoto.

Conforme Fonseca et al. (2013), nesse laboratório virtual cada experimento se baseia no movimento real de um corpo, que é filmado juntamente a um instrumento de medida de posição. Do filme gerado são extraídos quadros, que recebem um código de tempo - espécie de cronômetro que registra o instante relativo ao quadro -, como mostra a Figura 1. Os estudantes escolhem uma origem e uma orientação para o sistema de referência, colhem os dados primários de posição e tempo para o corpo, e, ao obterem sua velocidade por derivação numérica, analisam a evolução dinâmica do sistema em questão. Desta forma, busca-se complementar a atuação docente em sala de aula ao abordar assuntos teóricos de maneira experimental, aprimorando a compreensão conceitual e operacional dos conteúdos de física sendo estudados (FONSECA, et al. , 2013).

Figura 1. Exemplo de quadro extraído das filmagens, ao qual foi adicionado um código de tempo. Os títulos e eixos coordenados (em amarelo) e as marcações de posição (em branco) foram adicionados à imagem do quadro apenas em caráter ilustrativo.

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No experimento de Atrito Variável, devido às dimensões diminutas da moeda e à rapidez de seu movimento subsequente, sua realização na modalidade virtual mostrou-se mais adequada. É possível acessar a página do experimento virtual de Atrito Variável e nela conferir os quadros obtidos nas filmagens pelo seguinte endereço: http://www.fep.if.usp.br/~fisfoto/translacao/planoInclinado/index.php. Para detalhes sobre o arranjo experimental e os parâmetros das diferentes situações experimentais filmadas, as abas Filmagens , Materiais e Filmes e Quadros podem ser consultadas. É notável a qualidade dos quadros obtidos, na medida em que

"Os resultados das medidas das grandezas físicas obtidas com o uso do laboratório virtual são precisos. (...) Isso se deve ao fato do laboratório virtual permitir a análise quadro a quadro, possibilitando a visão instantânea do movimento a intervalos muito curtos e, em consequência, a leitura de medidas que não seriam possíveis a olho nu". (FONSECA, et al. , 2013, p. 9)

Uma aplicação desse experimento virtual numa turma da disciplina de Complementos de Mecânica Clássica , do sexto semestre do curso de Licenciatura em Física do Instituto de Física da Universidade de São Paulo, foi objeto de divulgação em conferência da área (VANIN et al. , 2016). Diante do diagnóstico de sucessos e insucessos da intervenção experimental promulgado em tal apresentação, para a aplicação do experimento a ser relatada no presente trabalho, a proposta sofreu drásticas modificações e reformulações.

Para esta nova aplicação, a equipe preparou filmagens adicionais, reeditou o roteiro do experimento (dividido em duas partes) e criou materiais adicionais de apoio para subsidiar o trabalho dos estudantes e estimular-lhes a autonomia. Tais materiais foram disponibilizados em texto (como apêndices aos roteiros) e em vídeo

(na forma de tutoriais). O compêndio de roteiros, apêndices e tutoriais, resumido na Tabela 1, consta na página do experimento, na aba Apresentação .

Tabela 1. Itens trabalhados em cada uma das duas partes da experiência, e delimitação de quais são contemplados nos tutoriais em vídeo e quais são aprofundados nos apêndices escritos.

## Aplicação do Experimento

Na disciplina de Complementos de Mecânica Clássica , um dos temas previstos em ementa é o estudo teórico de problemas que envolvam forças variáveis (dependentes do tempo, da posição e da velocidade). Em tais estudos, é comum a prevalência de um aclamado 'objetivo geral' da mecânica clássica: partir das equações de movimento de um corpo e obter sua respectiva função horária de posição, seja a partir do formalismo newtoniano ou do lagrangeano-hamiltoniano. Um grande número problemas possui solução teórica, porém, os cursos ainda carecem de uma abordagem experimental em consonância com esses formalismos.

- O experimento virtual foi aplicado para duas turmas dessa disciplina no segundo semestre letivo do ano de 2017. Numa aula inicial, a atividade foi apresentada e os alunos foram então separados em duplas. Num prazo de duas semanas, as duplas realizaram e submeteram uma síntese da Parte I, e noutro de quatro semanas, compuseram e entregaram um relatório da Parte II; ambos de forma online. Durante o processo, os alunos tiveram à disposição um monitor para eventuais dúvidas. Entre as Partes I e II, houve um intervalo de duas semanas no qual as sínteses foram corrigidas, comentadas e devolvidas, bem como foram também os relatórios, mas ao final. Por fim, foi aplicado em ambas as turmas um questionário anônimo de avaliação da atividade, com algumas perguntas objetivas sobre o experimento virtual e outras abertas, para a livre expressão de opiniões.

## Resultados da Aplicação

- O desempenho global das duplas foi satisfatório em ambas as partes do experimento, apesar de algumas dificuldades com o tratamento de dados terem sido detectadas. Os padrões de correção adotados prezaram pelos aspectos quantitativos formais esperados num experimento científico, pela obtenção de resultados coerentes com o fenômeno e pela capacidade analítica, crítica e argumentativa ao se apresentar, explicar e discutir os resultados.

A atividade permitiu, sobretudo, que as duplas construíssem dois gráficos: um do módulo da força de atrito em função do tempo ( fatc x t ), e outro do ângulo entre os vetores velocidade e força de atrito em função do tempo ( α x t ), como mostra a Figura 2 com exemplares produzidos pelas duplas. A verificação das leis empíricas do atrito implicava em se inferir: do primeiro gráfico, uma distribuição constante dos pontos em torno de um valor médio (reta em preto) e, do segundo, uma distribuição constante em torno de um valor esperado de π radianos (reta em vermelho), que corroboraria o fato de os vetores em questão serem opostos.

Figura 2. Gráficos produzidos por diferentes duplas para inferência de validade das leis empíricas do atrito. À esquerda, o gráfico do módulo da força de atrito em função do tempo ( fatc x ). À direita, o t gráfico do ângulo entre os vetores velocidade e força de atrito em função do tempo ( α x ). t

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Com a verificação das leis empíricas, o roteiro propôs então a elaboração de um modelo teórico para a trajetória da moeda a partir do formalismo newtoniano e do método numérico de Euler. Foi possível ajustar a trajetória prevista pelo modelo e compará-la com a trajetória lida experimentalmente, como mostra a Figura 3.

Figura 3. Gráfico realizado por uma outra dupla onde é possível comparar as trajetórias experimental (lida pelos quadros) e teórica (calculada e ajustada a partir do modelo).

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No questionário de avaliação, uma das perguntas foi ' Que grandeza física varia ao longo do movimento e de que maneira ocorre essa variação ? '. Suas alternativas tratavam de três comportamentos: (i) do módulo da velocidade da moeda; (ii) do módulo da força de atrito e do coeficiente de atrito cinético; e (iii) das direções dos vetores velocidade e força de atrito. A Figura 4 mostra o cômputo das respostas a tal questão, de um total de 42 questionários respondidos.

Figura 4. Cômputo das respostas à questão que tratava do comportamento das grandezas físicas.

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Os estudantes em sua maioria responderam essa questão corretamente, com exceção do comportamento (iii), no qual a maioria não respondeu. Nas questões abertas, apesar de queixas pontuais perante a alta carga de trabalho, a maioria dos alunos opinou positivamente a respeito do experimento, de seus roteiros, apêndices e tutoriais, e de sua coerência e complementaridade com os assuntos da disciplina teórica.

## Considerações Finais

Com base nas definições de Vergani (2009), as proposições a respeito do atrito de contato certamente não se tratam de regras empíricas , uma vez que em seu entorno há um ímpeto cientificista que objetiva explicar o atrito em termos de leis. Numa direção diferente, elas também não se traduzem em princípios , pois suas significações delimitam especificidades de certo tipo de interação física, o que não lhes confere um caráter universal, como o das leis de Newton, por exemplo. De fato, os enunciados a respeito do atrito apresentam-se como leis empíricas , pois apesar de suas particularidades não corresponderem a corolários teóricos de princípios axiomáticos, eles são verificáveis através da experiência e não contradizem aqueles princípios que regem seu contexto de consideração - no caso, as leis de Newton na Mecânica Clássica. No sentido da possível revisão dos princípios sinalizada pela autora, como as leis empíricas do atrito de contato não contradizem as leis de Newton, as primeiras permaneceram como consequências lógicas das últimas, garantindo a continuidade dos status de ambas. Faz-se ainda a ressalva de que tais considerações referem-se à Mecânica Clássica, e não se leva em conta suas limitações que levaram à formulação da Relatividade e da Mecânica Quântica.

Na atividade, a principal linha de ação foi a verificação experimental das leis empíricas do atrito de contato. Porém, a partir delas e das leis de Newton foi ainda concebido um modelo teórico para a determinação da trajetória bidimensional da moeda. A expressão desse modelo por meio de relações matemáticas se deu a partir de equações diferenciais para as componentes da velocidade. Assim, por integração numérica, calculou-se a trajetória da moeda, como mostra a Figura 3. Em consonância com a definição de modelo teórico de Biembengut (2016), inserindo condições iniciais e parâmetros de um cenário experimental real, foi possível avaliar

a previsão do modelo através de uma trajetória previamente conhecida. Na ocasião de coincidência, os estudantes inferiram a validade e a qualidade do modelo, o que abriu, então, a possibilidade de expansão para a investigação de quaisquer casos em que se quisesse prever a trajetória da moeda. Não apenas isso, mas o modelo é ainda sugestivo à elaboração de outros novos, noutras situações físicas.

Dados os amplos enfoques identificados nos documentos oficiais por Macedo &amp; Silva (2014) para o processo de contextualização, pode-se considerar que o experimento virtual aqui apresentado, frente ao seu contexto de aplicação, possuiu intersecções com todos esses enfoques, em particular e principalmente com aquele que apresenta a contextualização como um possível caminho a fim de minimizar os danos causados no processo de transposição didática. Há de se evidenciar, porém, que o destaque imposto às leis empíricas do atrito na atividade não tem como consequência a superestimação das faces empirista e indutivista da ciência. Afinal, ao encaminhar a verificação dessas leis, o experimento virtual estimula que as mesmas sejam vistas de forma mais esclarecida, com significados mais profundos, suscitando uma consciência técnica das razões para o seu uso. Em adição, ao promover a elaboração e o teste de um modelo teórico de relativa complexidade para a previsão da trajetória, o experimento permite uma aproximação dos estudantes à prática científica vigente, já que o caráter aproximativo do modelo torna-o apenas uma das várias possíveis representações em linguagem científica do fenômeno em estudo. O modelo, como sua própria definição lhe propõe, permanece dando margem para expansões e aprofundamentos, como por exemplo, a inclusão da interação viscosa da moeda com o ar, a consideração das influências da umidade relativa do ar e da temperatura no valor do coeficiente de atrito cinético etc.

É de se ressaltar o caráter contínuo da aplicação, revisão e reformulação dos experimentos virtuais nos últimos anos, nas direções de ampliá-los e aprofundálos. Por fim, espera-se com este trabalho que o Laboratório Virtual de Mecânica ganhe maior alcance na comunidade docente (uma vez sendo de uso livre) e que também seja exemplar e inspirador para aqueles que desejem diversificar e flexibilizar sua prática dentro e fora de sala de aula.

## Referências

BIEMBENGUT, M. S. Modelagem na educação matemática e na ciência . 1ª ed. São Paulo: Edit. Livraria da Física, 2016.

FONSECA, M., MAIDANA, N. L., SEVERINO, E., BARROS, S., SENHORA, G., VANIN, V. R. O laboratório virtual: Uma atividade baseada em experimentos para o ensino de mecânica . Rev. Bras. Ens. de Fís., São Paulo, v. 35, n. 4, 2013.

MACEDO, C. C., SILVA, L. F. Os processos de contextualização e a formação inicial de professores de física . Rev. Invest. Ens. Ciên., v. 19(1), pp. 55-74, 2014.

VANIN, V. R., FONSECA, M., LEITE, M. L., BARROS, S., MAIDANA, N. L. Oblique launching on an inclined plane with friction: A contextualized approach to the study of variable forces . Poster Presentation, 2 nd World Conf. Phys. Educ., 2016.

VERGANI, T. A criatividade como destino: Transdisciplinaridade, cultura e educação . 1ª ed. São Paulo: Edit. Livraria da Física, 2009.