ROLAMENTO E INÍCIO DE DESLIZAMENTO NUM PLANO INCLINADO

## ROLAMENTO E INÍCIO DE DESLIZAMENTO NUM PLANO INCLINADO

## ROLLING END BEGINNING SLIDING OF A SPHERE ON AN INCLINED PLANE

## Alcides Goya 1 , Carlos Eduardo Laburú , Paulo Sérgio de Camargo Filho 2 3

1 UTFPR/ Física/Londrina, goya@utfpr.edu.br

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UEL/Física, Laburu@uel.br

3 UFFS/Física/Realeza, paulo.camargo@uffs.edu.br

## Resumo

Este trabalho mostra um estudo comparativo entre as velocidades de rolamento de uma esfera de aço que viabiliza a determinação do início do deslizamento da esfera e o cálculo do coeficiente de atrito estático entre a esfera e o plano inclinado. Para se determinar a velocidade final no plano inclinado, foram utilizados cronômetros com sensores digitais e para se determinar a velocidade inicial do lançamento oblíquo, foram assumidas as equações de alcance horizontal. Através do gráfico da velocidade em função da raiz quadrada da altura do plano inclinado, foi possível determinar a faixa de compatibilidade entre os dois primeiros modos de determinar a velocidade da esfera, bem como fazer a comparação com um terceiro modo, no qual se admitiu a conservação da energia mecânica. Através do mesmo tipo de gráfico, foi possível determinar, pelo início do deslizamento, o valor do coeficiente de atrito entre a esfera e o plano inclinado, cujo resultado ficou compatível com outra forma simples de determinação.

Palavras-chave : Rolamento de esfera, coeficiente de atrito, lançamento oblíquo, laboratório didático.

## Abstract

This paperwork makes a comparative study between the velocities of rolling of a steel sphere that enables the determination of the beginning sliding of a sphere and calculation the coefficient of static friction between the sphere end inclined plane. To determine the final velocity in the inclined plane we used stopwatches with digital sensors and to determine the initial velocity on the oblique launch we used the horizontal range equations. By the graph of velocity as a function of the square root of the height of the inclined plane was possible to determine the range of compatibility between the first two modes to determine the speed of the sphere and make comparison with a third mode, in which it admits conservation of mechanical energy. Through the same type of graph was possible to determine, at the beginning of sliding, the coefficient of friction between the sphere and the inclined plane, and the result was consistent with other simple way of determining.

Keywords : Sphere rolling, frictional coefficient, oblique launch, didactical laboratory.

## Introdução

Numa revisão da literatura feita sobre as atividades experimentais no ensino de ciências (LABURÚ; MANPRIN; SALVADEGO, 2011) constatou haver um consenso que as atividades práticas constituem a essência da aprendizagem científica. No entanto, elas ainda raramente são utilizadas pela maioria dos professores brasileiros no ensino de ciências alegando falta de tempo, de equipamentos e desmotivação para trabalhá-las com seus alunos (GALIAZZI et al., 2001; BORGES, 2002; LABURÚ; MANPRIN; SALVADEGO, 2011). Em relação ao tema específico de rolamento de um corpo maciço, as pesquisas mostram que os alunos encontram dificuldades conceituais relativas ao papel da força de atrito, mesmo no caso de rolamento sem deslizamento (NELSON, 2012; CALDAS; MAGALHÃES, 2000). Através de um simples experimento com uma esfera de aço rolando num plano inclinado, foi possível estimar o ângulo limite a partir do qual começa o deslizamento, apesar de se ter observado uma discordância entre os valores do coeficiente de atrito entre a esfera e a superfície do plano quando comparado com outros modos de mensuração (SILVA et al., 2003). E ste trabalho fez um estudo comparativo entre as velocidades de rolamentos de uma esfera de aço com lançamento oblíquo e mostra que o valor do coeficiente de atrito, entre a esfera e a superfície do plano, calculado pelo início do deslizamento, é compatível com outras formas simples de determinação.

## Material, método e procedimentos

O material utilizado foi uma canaleta de plástico, perfil 5,0 cm x 2,0 cm x 210,0 cm, que se encontra facilmente no mercado. Foram instalados 3 sensores fotoelétricos ligados a um cronômetro digital, instrumentos comuns encontrados nos laboratórios didáticos universitários. A montagem do experimento foi feita na forma usual para se medir o alcance do lançamento oblíquo, conforme a figura1. Como base foi utilizado uma mesa plana do laboratório de altura H, o trilho ou canaleta de plástico foi colocado sobre a mesa com uma das extremidades grudada com velcro na quina da mesa e outra extremidade apoiada em suportes comuns, com os quais se pode variar a altura h.

H: altura do mesa ou do lançamento oblíquo; h: altura em que a esfera é solta; L: espaço percorrido pela esfera durante o rolamento na canaleta; x: alcance horizontal do lançamento oblíquo

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Figura 1: Esquema da montagem do experimento de lançamento oblíquo

## Três modos distintos para a determinação da velocidade no final da canaleta

O primeiro modo de se calcular a velocidade da esfera, no instante em que ela deixa a canaleta, foi feito a partir dos dados medidos por 3 sensores fotoelétricos ligados a um cronômetro digital. Para a determinação da velocidade final através dos sensores, admite-se que o movimento seja uniformemente variado, com velocidade inicial nula nas equações do deslocamento e da velocidade em função do tempo. Elimina-se a variável aceleração que é comum às duas equações, e chega-se a equação simples da velocidade no fim da canaleta:

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O segundo modo de se calcular a velocidade da esfera no instante em que ela deixa a canaleta, foi feito pelo alcance horizontal x . Postula-se que, durante a queda da esfera, no eixo horizontal x o movimento seja uniforme e no eixo vertical y o movimento seja uniformemente variado. Isolando a variável t da equação do movimento uniforme e substituindo-a na equação do movimento vertical, somando os termos e isolando a variável V , obtemos a equação que determina a velocidade do alcance horizontal (SILVA et al., op.cit., pag 380):

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O terceiro modo de se calcular a velocidade da esfera, no instante em que ela deixa a canaleta, desde que não haja deslizamento durante o rolamento, foi feito admitindo a conservação da energia mecânica. Um corpo abandonado de uma altura h, que desce rolando num plano inclinado é descrito pela equação (3) (TIPLER e MOSCA, 2009, p. 305)

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onde VCM é a velocidade do centro de massa e I CM é o momento de inércia do corpo, em relação ao centro de massa, que rola sem deslizar. Considerando o momento de inércia de uma esfera e relacionando a velocidade linear com a angular, uma vez que não haja deslizamento, obtemos a equação que expressa a velocidade final da esfera pela conservação da energia mecânica:

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## O coeficiente de atrito pelo início de deslizamento

Quando a esfera acelera descendo a canaleta, conforme mostrado na figura 1, sua velocidade angular aumenta para manter a condição de não-deslizamento, i.e., a força de atrito gera um torque em relação ao eixo que passa pelo centro de massa. A 2ª lei de Newton linear e a 2ª lei de Newton rotacional, nesse caso podem ser escritos como

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onde aCM é a aceleração do centro de massa, R e I CM são o raio e o momento da esfera. Eliminando aCM e considerando o momento de inércia específico da esfera, chega-se facilmente à expressão que determina a força de atrito estático ( Fat ) sobre a esfera, que rola sem deslizamento num plano inclinado (Tipler e Moska, op.cit., pag 304):

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A condição de não deslizamento corresponde a situação em que a força de atrito é menor do que o produto do coeficiente de atrito estático pela força normal. No caso limite, início de deslizamento, iguala-se as duas equações que envolvem a força de atrito e se determina o coeficiente de atrito estático em função da inclinação da canaleta (SILVA et al., op.cit., pag 382):

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## Resultados

A equação (4) explicita, caso haja conservação da energia mecânica, que a velocidade de rolamento de uma esfera depende linearmente da raiz quadrada da altura do plano inclinado. Esse comportamento da velocidade de rolamento indica a conveniência de se fazer uma tabela em função da raiz quadrada da altura, tal como mostrado na tabela 1, para os três modos de se determinar a velocidade final da esfera no trilho.

Tabela 1 : Ângulo, raiz quadrada da altura, tempo para percorrer a canaleta, alcance horizontal e três modos diferentes de determinação de velocidade da esfera de aço

Uma maneira simples de analisar esses dados é traçar o gráfico das velocidades em função da raiz quadrada da altura, no trecho em que os dados se aproximam de uma reta, tal como é feito na figura 2:

Figura 2: Velocidade em função da raiz quadrada da altura para os três modos

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A figura 2 mostra que os 3 conjuntos de 14 pontos, correpondentes aos ângulos da tabela 1 que variam de 14º a 39,8º, são bem próximos de três retas com inclinações iguais, dentro das suas incertezas. As três retas traçadas pelo método dos mínimos quadrados, conforme a figura 2, são descritas pelas equações (9), (10) e (11):

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Ao considerar todos os 20 pontos da tabela 1, as equações (10) e (11) podem ser utilizadas como referência de rolamento da esfera, tal como são mostradas nas figuras 3 e 4. Por questão de clareza, as figuras 3 e 4 mostram também uma segunda reta, com inclinação maior, obtida a partir da equação do deslizamento puro, i.e., considerando a velocidade de rotação da esfera nula na equação (3). A figura 3 mostra que os dados obtidos pelos sensores não apresentam nenhum sinal significativo de deslizamento até o 16º ponto, ficando fácil de se obter o ângulo no qual a bolinha começa a deslizar, em torno do 17º ponto (GLYPH&lt;31&gt;=45,7º). Uma estimativa simples seria considerar que não haja deslizamento até 43,7º (16º ponto) e que haja em 47,6º (18º ponto), i.e., a base a da PDF triangular (JUNIOR e SILVEIRA, 2011), nessa estimativa, seria 3,9º e, a melhor aproximação do mensurando seria 45,7º . Portanto, a incerteza padrão u do ângulo em que se inicia o deslizamento é calculado facilmente (JUNIOR e SILVEIRA, 2011, pag 23033) e o resultado final do ângulo pode ser apresentado como

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Figura 3: Velocidade em função da raiz quadrada da altura ilustrando o início do deslizamento segundo os dados obtidos pelos cronômetros digitais

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O mesmo procedimento pode ser feito com relação aos dados obtidos pelo alcance horizontal, tal como é mostrado na figura 4, na qual nota-se que é preciso abrir um pouco mais a base da PDF triangular, pois a incerteza é maior. Seguindo o modelo anterior, o resultado final do ângulo em que se inicia o deslizamento é semelhante ao valor mostrado pela equação (11), com uma incerteza maior

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Através da equação (7) e considerando a propagação das incertezas (VUOLO, 1992), podemos estimar o coeficiente de atrito estático, tanto pelos dados obtidos via sensores como pelo alcance horizontal

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Por fim, foi calculado o coeficiente de atrito estático máximo pelo método mais simples e direto: aumento gradual do ângulo da inclinação do plano até que o corpo de prova inicie o deslizamento. Para tanto, foram unidas duas esferas de aço semelhantes para evitar o rolamento. Foram feitas várias medidas (N=16), sendo possível utilizar a PDF gaussiana e apresentar a incerteza padrão através do desvio padrão da média (VUOLO, 1999, pag 353) :

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Figura 4: Velocidade em função da raiz quadrada da altura ilustrando o início do deslizamento segundo os dados obtidos pelos alcance horizontal

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## Considerações Finais

As três retas tracejadas na figura 2, com as suas respectivas equações ((9), (10) e (11)), mostraram a conveniência de se apresentar a velocidade em função da raiz quadrada da altura. Essa maneira de expressar as velocidades determinou a faixa de compatibilidade entre os três modos de se calcular a velocidade da esfera. Essa simples comparação levou a determinar com facilidade o coeficiente de atrito estático, tanto pelos dados obtidos via sensores como via alcance horizontal. A igualdade numérica, expressada pela equação (14), entre os dois modos de se calcular o coeficiente de atrito estático, bem como a coincidência com outras formas de se obter o coeficiente de atrito estático entre a esfera de aço e a canaleta de plástico, expressada pela equação (15), confirmam que o modo de se calcular a velocidade pelo alcance horizontal é apropriado para utilização em laboratórios didáticos.

## Referências

BORGES, A.T. Novos rumos para o laboratório escolar de ciências. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Florianópolis, v. 19, n. 3, p. 291-313, 2002.

CALDAS, H.; MAGALHÃES, M.E.. Rolamento sem escorregamento: atrito estático ou atrito de rolamento? Caderno Catarinense de Ensino de Física , v. 17, n.3, p. 257-269, 2000.

GALIAZZI, M.C.; ROCHA, J.M.B; SCHMITZ, L.C.; SOUZA, M.L.; GIESTA, S. e GONÇALVES, F.P.. Objetivos das atividades experimentais no Ensino Médio: a pesquisa

coletiva como modo de formação de professores de Ciências. Ciência e Educação, Bauru, v.7, n.2, p. 249-263, 2001.

JUNIOR, P.L.; SILVEIRA, F.L. Revista Brasileira de Ensino de Física , 33, 2303 , 2011.

LABURÚ, C. A., MAMPRIN, M.I. de L. L e SALVADEGO, W. N. C., Professor das ciências naturais e a prática de atividades experimentais no ensino médio uma análise segundo Charlot.. Londrina: Eduel, 2011.

NELSON, O.R. Rolamento sem deslizamento: um exemplo ilustrativo capaz de mostrar muitos conflitos conceituais. Revista Brasileira de Ensino de Física , v. 34, n. 3, p. 3502-1 3502-5, 2012.

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TIPLER P.A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros , volume 1, 6ª edição. Rio de Janeiro, LTC, 2009.

VUOLO, J.H.. Fundamentos da Teoria de Erros , São Paulo: Edgar Blücher, 1992.