IMPORTÂNCIA E SIGNIFICADOS QUE OS ESTUDANTES ATRIBUEM AO CÁLCULO DA MÉDIA

## IMPORTÂNCIA E SIGNIFICADOS QUE OS ESTUDANTES ATRIBUEM AO CÁLCULO DA MÉDIA

## IMPORTANCE AND MEANINGS STUDENTS APPLY TO MEAN'S CALCULATION

## Alessandro Damásio Trani Gomes

Universidade Federal de São João del Rei, alessandrodtg@gmail.com

## Resumo

Este trabalho investiga como os estudantes do ensino médio lidam com dados no laboratório de Física, em particular, como eles representam o melhor valor de uma medida e quais os significados que eles atribuem ao cálculo da média para a determinação do valor mais representativo de conjunto de dados experimentais. O trabalho avalia ainda a evolução dessas concepções após a realização de uma sequência de treze atividades práticas integradas ao currículo de Física ao longo do ano letivo. Participaram da pesquisa 238 estudantes do primeiro ano do ensino médio de uma escola pública federal, respondendo a dois testes, um no início e outro no final do ano letivo. A comparação dos resultados do pré e do pós-teste indica certa sofisticação na forma de representação de dados experimentais e acerca dos significados atribuídos ao cálculo da média. Com base nos resultados obtidos, discutimos as implicações educacionais e propomos novas possibilidades de pesquisa na área.

Palavras-chave : experimentação; conceitos de evidência; conhecimento procedimental.

## Abstract

In this we investigate how secondary school students deal with sets of experimental data in physics laboratory classes. In particular, we focus on how the students represent the value of a physical quantity from a set of repeated measures and the meaning the assign to the mean value of the data set. The paper also examines how those students' understandings develop after some laboratory activities. 238 students from year took a pre-test after a few weeks of classes and answered the test again by the end of school year. Comparing pre and post-test results suggests some sophistication in students' understandings about the importance and comprehension of the mean value of the data set. Based on these results the paper discusses the educational implications and suggests areas for future research

Keywords : inquiry; concepts of evidence; procedural knowledge.

## Introdução

Gott e Duggan (1996) argumentam que, para se tornar um indivíduo cientificamente alfabetizado, o estudante deve desenvolver uma série de conhecimentos sólidos e habilidades relacionadas com a obtenção, validação, representação e interpretação de evidências. Apesar de ser fundamental para o desenvolvimento da ciência e para a formação de uma sociedade crítica, é relativamente pequena a atenção que é dada, na pesquisa em educação em ciências, às concepções e habilidades dos estudantes envolvidas na coleta e interpretação dos dados e de seus conceitos adjacentes.

As poucas pesquisas na área (Allie e colaboradores, 1998; Kung e Linder, 2006, Lovett e Shah, 2007, por exemplo) apontam que estudantes, em todos os níveis de ensino, possuem grandes dificuldades com relação aos conceitos e conhecimentos envolvidos no processo de medição e análise das medidas produzidas.

- O laboratório de ciências, especialmente o de Física, poderia fornecer a oportunidade para os estudantes aprender sobre o processo de produção e análise de evidências. Na maioria das atividades práticas desenvolvidas nos laboratórios os estudantes efetuam medidas constantemente, avaliam e analisam os dados obtidos. Os dados são utilizados para calcular outras grandezas seja para testar ou formular hipóteses sobre o mundo natural. Questões sobre a qualidade dos dados obtidos parecem surgir naturalmente, o que levaria os estudantes a desenvolverem uma compreensão mais sofisticada, isto é, mais próxima daquilo que é aceito pela comunidade de ciências naturais acerca do processo de medição, bem como da análise e tratamento dos dados.

Esse trabalho insere-se dentro de uma pesquisa mais ampla que busca investigar as aprendizagens decorrentes da realização de atividades práticas no laboratório de física. Aqui estamos interessados num pequeno recorte, relacionado a que importância e significados os estudantes do início do ensino médio atribuem ao cálculo da média no contexto da experimentação. Sendo assim, buscamos, nesse trabalho, responder a duas questões:

- 1) Os estudantes compreendem importância e o significado do cálculo da média para a determinação do valor mais representativo de conjunto de dados experimentais?
- 2) Como essa compreensão se desenvolve através da realização de uma sequência de atividades experimentais?

## Conceitos de evidência

Nas duas últimas décadas, houve uma mudança na concepção de educadores e pesquisadores sobre o conhecimento procedimental dos estudantes durante a realização de atividades práticas. Pesquisas passaram a enfatizar que o conhecimento procedimental do indivíduo não é composto apenas por técnicas práticas, destrezas manuais ou habilidades operacionais. Mas é composto e influenciado, em boa medida, por conceitos e ideias, sobretudo relacionadas à experimentação e análise de evidências. Esses 'conceitos de evidência' referem-se aos conceitos, raciocínios e habilidades necessárias para, além de se coletar dados

confiáveis e válidos, organizá-los, tratá-los e interpretá-los apropriadamente de tal forma que possam ser utilizados na avaliação de evidências, hipóteses e explicações (Gott e Duggan, 1996).

Lubben e colaboradores (Buffler e colaboradores, 2001; Lubben e colaboradores, 2001), realizaram trabalhos que forneceram um importante suporte empírico para o desenvolvimento de um referencial simples, no qual o pensamento e o raciocínio utilizados pelos estudantes no laboratório podem ser categorizados em dois tipos distintos: o pensamento por ponto e por conjunto . 1

- O 'pensamento por ponto' se caracteriza pela noção que cada medida pode, em princípio, ser o valor correto. Como consequência, cada medida é independente das outras e as medidas individuais não são combinadas de forma alguma com as outras. Portanto, cada medida é concebida como sendo um valor, ao invés de contribuir para se estabelecer um intervalo. Na forma mais extrema do pensamento por ponto está a crença de que apenas uma medida é necessária para estabelecer o valor verdadeiro da grandeza medida.
- O 'pensamento por conjunto' é caracterizado pela ideia de que cada medida é apenas uma aproximação do valor verdadeiro e que o desvio deste valor é aleatório. Como consequência, um número de medidas é necessário para formar uma distribuição que se estabeleça em torno de um valor determinado. A melhor informação sobre o valor verdadeiro é obtida pela combinação das medidas, utilizando-se construtos teóricos para descrever os dados conjuntamente.

Como parte do seu desenvolvimento e compreensão dos métodos utilizados pela ciência para obtenção de evidências válidas, os indivíduos devem aprender procedimentos adequados de análise de dados (ações) e aprofundar sua compreensão sobre a natureza dos dados obtidos e do processo de medição (raciocínio).

Resumindo, a principal diferença entre os dois pensamentos é que os estudantes que possuem o 'pensamento por ponto' tiram suas conclusões e inferências a partir dos pontos individualmente, enquanto quem possui o 'pensamento por conjunto' considera todo o conjunto dos dados disponíveis.

Portanto, o referencial apresentado acima permite a classificação das ações, decisões e raciocínio dos estudantes em diferentes etapas do processo de experimentação (coleta de dados, análise e interpretação dos resultados). Utilizaremos esse referencial para analisarmos a evolução das concepções dos estudantes sobre a importância e o significado do cálculo da média para a determinação do valor mais representativo de conjunto de dados experimentais.

## Metodologia

Para avaliar o impacto e a importância das atividades pedagógicas trabalhadas sobre o conhecimento procedimental dos estudantes, faz-se necessário um estudo que se utiliza da reaplicação dos instrumentos de coleta de dados. Em um estudo longitudinal, devem-se ter duas preocupações básicas. A primeira é a

adoção de um espaçamento adequado entre as coletas de dados para permitir que as mudanças e os conhecimentos adquiridos pelos indivíduos possam ser assimilados e incorporados. A segunda é a utilização, nas diversas coletas de dados que podem ocorrer, de instrumentos semelhantes, passíveis de comparação entre si.

## Sujeitos da pesquisa

A coleta de dados ocorreu em uma escola de ensino médio da rede federal de ensino. Os participantes da pesquisa foram 238 estudantes matriculados no 1º ano do ensino médio.

Nessa escola, o currículo de Física tem ainda uma componente experimental aproveitando-se da estrutura de laboratórios e os recursos disponíveis. Os alunos do ensino médio realizam atividades práticas quinzenalmente.

Ao longo do ano letivo, foram desenvolvidas 13 atividades no laboratório de Física. As atividades envolveram conceitos de mecânica (movimento uniforme e variado, energia, sistema massa-mola e força elástica) e eletricidade (circuitos simples com pilhas e lâmpadas e medição de corrente e tensão em circuitos série e paralelo).

## Instrumento de pesquisa

Ao considerarmos o conhecimento procedimental dos estudantes como constituído, sobretudo de conhecimentos conceituais, representados pelos conceitos de evidência, ampliamos nossas possibilidades de utilização de instrumentos de pesquisa. Outras pesquisas (Lubben e Millar, 1996; Rollnick e colaboradores, 2001) também compartilham desse referencial e adotam instrumentos de mesma natureza do utilizado nessa pesquisa.

Para identificarmos se os estudantes reconhecem a importância e o sentido de se determinar da média, utilizamos uma questão na qual são apresentados os dados em uma tabela de uma suposta atividade no laboratório de Física realizada por um grupo de alunos que mediu o tempo que uma esfera gasta para rolar através de uma rampa (figura 1). Em seguida, é solicitado que o aluno escreva qual o valor que melhor representa o tempo que a esfera gasta para percorrer a rampa e apresente uma justificativa.

Durante a realização de uma atividade no laboratório de Física, um grupo de alunos mediu o tempo que uma esfera gasta para percorrer uma rampa. Todas as medidas foram realizadas com a mesma esfera e soltando-a de uma mesma altura. Os valores estão representados na tabela abaixo:

Tempo (s)

1,5

1,3

1,5

1,2

1,7

1,5

1,1

De acordo com os dados na tabela, escreva qual o valor que melhor representa o tempo que a esfera gasta para percorrer a rampa. Justifique sua resposta.

Figura 1 - Questão sobre o valor mais representativo de um conjunto de dados

## Procedimentos

O instrumento de pesquisa foi aplicado no início do ano, para identificarmos os conhecimentos iniciais dos participantes e também, ao final do ano letivo, para que pudéssemos identificar as possíveis modificações nesses conhecimentos. Tanto no início, quanto no final do ano, a coleta do material empírico da pesquisa ocorreu durante o horário das aulas de física dos estudantes (teóricas ou no laboratório).

A questão foi aplicada pelos próprios professores das turmas. Antes da aplicação, os professores novamente reforçavam a importância da participação dos estudantes e esclareciam os objetivos gerais da pesquisa.

Além da aplicação da questão, foram feitas entrevistas com parte dos estudantes, em grupo e individualmente para esclarecer melhor as concepções e ideias dos estudantes sobre o assunto. As entrevistas realizadas foram registradas em áudio e vídeo.

## Análise dos dados

Analisamos o conjunto de respostas que alunos forneceram à questão e pudemos identificar três categorias de respostas recorrentes:

M1 - Média. Os estudantes responderam que o valor que melhor representava o conjunto de dados é a média. Na maioria dos casos, eles calcularam a média.

'O melhor número é 1,4, pois representa a média de todos os números que apareceram.'

- M2 - O valor da tabela que mais se repetiu Nesse tipo de resposta, o estudante . afirma que o valor que melhor representa o conjunto de medições é a moda do conjunto, ou seja, o valor que mais se repete. Neste caso, afirmaram que o valor seria 1,5 segundos.

'Eu acho que o valor que melhor corresponde esse tempo é 1,5s pois ele aparece mais de uma vez na tabela.'

- M3 - Calcula a média e escolhe outro valor. Alguns alunos calcularam a média e, após o cálculo, escolheram algum valor presente na tabela que mais se aproximasse da média. Nesse caso, os valores escolhidos foram 1,3 e/ou 1,5 segundos.

'Seria 1,3 ou 1,5. Pois tirando a média o resultado seria 1,4 e estes são os que mais se aproximam.'

As categorias aqui desenvolvidas relacionam-se com os paradigmas propostos por Allie e colaboradores (1998). Podemos associar nossa categoria M1 ao 'pensamento por conjunto', pois o estudante reconhece a necessidade de se calcular a média dos valores de um conjunto. A categoria M2 pode ser caracterizada segundo o 'pensamento por ponto', pois o estudante observa individualmente os pontos da tabela. Já a categoriza M3 pode ser indício de uma transição entre os paradigmas, pois o estudante calcula a média, ou seja, reconhece que os dados devem ser analisados em conjunto, mas escolhe um ponto do conjunto.

Na tabela 1 está representada a distribuição de frequência das respostas dos estudantes, para o pré e pós-teste, de acordo com a categorização acima. Ainda no pré-teste, mais da metade dos estudantes percebem a importância da média para

representar um conjunto de dados. É importante ressaltar que quando os alunos realizaram o pré-teste, eles já haviam feito três aulas de laboratório e já haviam discutido em sala de aula questões sobre medidas e erros, cálculo de média, erros aleatórios, sistemáticos, e como representar a variabilidade dos dados através de desvios. Porém, mesmo após essa discussão, quase a metade dos estudantes ainda não compreendiam o significado da média de um conjunto de dados.

Tabela 1 - Distribuição das respostas dos estudantes de acordo com a categorização

No pós-teste, há uma elevação da percentagem da categoria M1 e a diminuição da categoria M2 , o que representa uma sofisticação significativa na compreensão dos estudantes -χ 2 (3) = 14,857, p=0,002. Porém, mesmo considerando essa melhora, apenas 65,7% dos estudantes chegaram ao final do primeiro ano do ensino médio com uma compreensão adequada de que a média é o valor que melhor representa um conjunto de dados coletados em uma atividade experimental. Consideramos esse valor baixo, pois, em 10 atividades realizadas ao longo do ano letivo havia a necessidade de se calcular a média. Portanto, foi uma ideia trabalhada repetidamente no laboratório.

Nas entrevistas realizadas com os estudantes, perguntamos aos estudantes: 'Em várias atividades no laboratório, você determinou a média de um conjunto de valores. O que é a média? O que representa a média? O que ela significa? Por que é importante calculá-la?' Pelas respostas, pudemos identificar que todos os estudantes entrevistados sabiam a parte operacional do cálculo da média, faltavamlhes a compreensão da sua importância no contexto da experimentação. Em resposta às perguntas, os estudantes afirmaram:

' A média é um resultado intermediário dos resultados obtidos.'

'Ela representa o valor mais apropriado de uma medição e é importante para tornar os resultados mais precisos.'

' É importante calcular a média, pois ela elimina os erros de medida'.

As respostas acima indicam, assim como os resultados da tabela 1, que a maioria dos estudantes reconhece a necessidade de se calcular a média dos valores obtidos. Porém, as respostas acima, semelhantes a da grande maioria dos estudantes, também indicam que a maioria dos estudantes aprende que deve calcular a média, mas não compreendem bem a importância do seu cálculo. Muitos argumentam que o cálculo da média elimina os erros sem distinção, outros, dão respostas superficiais. Alguns estudantes apresentaram respostas mais sofisticadas:

'Representa um valor que se procura, mas que devido aos erros de medida não conseguimos achar. É importante porque ao medirmos, os valores podem variar para mais ou para menos; a média ameniza essa diferença'

'É um valor que está mais próximo do valor real. É uma aproximação que reduz os erros de medida'.

Podemos ver através dessas respostas que parte dos estudantes reconhece que a média é apenas uma aproximação do valor real e que seu cálculo pode eliminar apenas erros aleatórios de medida.

## Considerações finais

Neste trabalho, buscamos identificar a evolução das concepções dos estudantes sobre a importância e o significado do cálculo da média para a determinação do valor mais representativo de conjunto de dados experimentais. Apesar da melhora significativa em relação ao pré-teste, apenas 65,7% dos estudantes reconheceram, ao final do primeiro ano do ensino médio, que a média é o melhor valor para representar um conjunto de dados.

Mesmo tendo realizado 13 práticas ao longo do ano letivo e, na grande maioria (10 atividades) terem calculado a média de diversos conjuntos de dados, boa parte dos estudantes ainda assim, não reconhece a necessidade de se calcular a média. Esses estudantes continuam acreditando que o valor que mais se repete dentro do conjunto (moda) é o mais indicado para representá-lo. Além disso, são poucos os estudantes que conseguem atribuir à média, o seu real significado e importância. Para boa parte dos estudantes, o cálculo da média é apenas um procedimento que deve ser executado muitas vezes nas atividades práticas de Física, mas não compreendem a razão disso.

A adoção do referencial proposto por Allie e colaboradores (1998) ajuda-nos a definir um objetivo claro para as atividades práticas. Esse objetivo seria a de estimular e provocar nos estudantes a mudança do 'pensamento por ponto' para o 'pensamento por conjunto'. Para isso, uma atenção maior deve ser dada, por parte dos professores, não apenas à aprendizagem dos algoritmos necessários ao tratamento dos dados, mas aos significados reais e práticos que esses construtos estatísticos possuem.

A compreensão inadequada dos estudantes sobre o significado do cálculo da média de um conjunto de valores leva-nos a novos questionamentos que possibilitam novas pesquisas na área. Como os estudantes entendem a necessidade de se repetir a coleta de dados por diversas vezes? Como eles entendem a variabilidade dos dados experimentais? A que fatores eles atribuem essas variações?

As respostas para essas perguntas são importantes para que possamos identificar as concepções dos estudantes sobre o processo de medição durante a experimentação e desenvolver estratégias que permitam a eles desenvolver uma compreensão mais sofisticada de todos os processos envolvidos numa atividade experimental.

## Referências

ALLIE, S., BUFFER, A., KAUNDA, L., CAMPBELL, B. E LUBBEN, F. First-year physics students' perception of the quality of experimental measurements. International Journal of Science Education , v. 20, n. 4, p. 447-459, 1998.

BUFFLER, A.; ALLIE, S.; LUBBEN, F.; CAMPBELL, B. The development of first year physics students' ideas about measurements in terms of point and set paradigms. International Journal of Science Education , v. 23, n. 11, p. 1137-1156, 2001.

GOTT, R.; DUGGAN, S. Practical work: its role in the understanding of evidence in science. International Journal of Science Education , v. 18, n. 7, p. 791-806, 1996.

KUNG, R. L.; LINDER, C. University students' ideas about data processing and data comparison in a physics laboratory course. Nordic Studies in Science Education , v.4,p.40-53, 2006.

LOVETT, M.; SHAH, P. (Eds.). Thinking with data . Mahweh, NJ: Erlbaum, 2007.

LUBBEN, F.; CAMPBELL, B.; BUFFLER, A.; ALLIE, S. Point and set reasoning in practical science measurement by entering university freshmen. Science Education , v. 85, n. 4, p. 311-327, 2001.

LUBBEN, F.; MILLAR, R. Children's ideas about the reliability of experimental data. International Journal of Science Education , v. 18, n. 8, p. 955-968, 1996.

ROLLNICK, M.; DLAMINI, B.; LOTZ, S.; LUBBEN, F. Views of South Africa chemistry students in university bridging programs on the reliability of experimental data. Research in Science Education , v. 31, p. 553-573, 2001.